Для решения задачи воспользуемся законами классической механики. Рассмотрим движение тела на вращающемся гладком диске.
Требуется найти расстояние ( r ) от оси вращения, на котором тело оторвалось.
Движение тела до момента отрыва: Изначально тело находится на диске на расстоянии ( r ) от оси вращения. Диск вращается с угловой скоростью ( \omega ), и тело участвует в этом движении. В момент отрыва у тела есть начальная линейная скорость, равная скорости точки диска в этом месте: [ v_0 = \omega r. ]
Движение тела после отрыва: После отрыва тело перестаёт участвовать во вращении диска и движется прямолинейно равномерно с начальной скоростью ( v_0 = \omega r ) в том направлении, в котором оно двигалось в момент отрыва. Одновременно диск продолжает вращаться с угловой скоростью ( \omega ).
Условие задачи (совпадение углов): В задаче сказано, что диск делает полный оборот ( \Delta\varphi = 2\pi ), пока тело соскальзывает с диска. Это означает, что за это время тело, скользя по диску без трения, пройдёт по горизонтальной плоскости расстояние ( R - r ) (от места отрыва до края диска).
Разделим движение на два направления:
Радиальное направление (по радиусу диска): Тело скользит без трения с постоянной скоростью ( v_0 = \omega r ). Радиальное расстояние, которое оно проходит за время ( t ), равно: [ R - r = v_0 t = (\omega r) t. ] Отсюда выражаем время ( t ) соскальзывания тела: [ t = \frac{R - r}{\omega r}. ]
Угловое движение (вращение диска): За это же время ( t ) диск делает полный оборот, то есть проходит угол ( \Delta\varphi = \omega t = 2\pi ). Подставим ( t ) из предыдущего выражения: [ \omega \cdot \frac{R - r}{\omega r} = 2\pi. ]
Упрощаем уравнение: [ \frac{R - r}{r} = 2\pi. ] Умножим обе части на ( r ): [ R - r = 2\pi r. ] Переносим ( r ) влево: [ R = r + 2\pi r. ] Вынесем ( r ) за скобки: [ R = r(1 + 2\pi). ] Отсюда выражаем ( r ): [ r = \frac{R}{1 + 2\pi}. ]
Тело отрывается от диска на расстоянии [ r = \frac{R}{1 + 2\pi}. ]
Это означает, что чем больше радиус диска ( R ), тем дальше от центра происходит отрыв, однако значение ( r ) всегда меньше ( R ), так как ( 1 + 2\pi > 1 ).
Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим некоторые параметры и условия.
Пусть:
Угловая скорость: Диск делает полный оборот за время ( t ), следовательно, его угловая скорость ( \omega ) равна: [ \omega = \frac{2\pi}{t} ]
Линейная скорость: Линейная скорость тела в момент отрыва от диска определяется как: [ v = r \cdot \omega = r \cdot \frac{2\pi}{t} ]
Движение тела после отрыва: После того как тело отрывается от диска, оно продолжает двигаться по инерции с той же линейной скоростью ( v ). При этом тело движется по прямой, а диск вращается. За время ( t ) диск успевает повернуться на угол ( \theta = 2\pi ) радиан.
Положение тела: В момент, когда тело оторвалось от диска, оно находилось на расстоянии ( r ) от оси. После отрыва, за время ( t ) тело переместится на расстояние: [ \Delta x = v \cdot t = \left(r \cdot \frac{2\pi}{t}\right) \cdot t = 2\pi r ] Это смещение будет происходить по касательной к окружности радиуса ( r ).
Сравнение радиусов: Диск продолжает вращаться, и его радиус в данный момент равен ( R ). После полного оборота, тело должно находиться на расстоянии ( R ) от оси вращения. Таким образом, в момент времени ( t ) тело, которое изначально находилось на расстоянии ( r ), будет находиться на расстоянии ( R ) от оси.
Угол, под которым тело переместится относительно начального положения, будет равен ( 2\pi ), что соответствует полному обороту. Таким образом, конечное положение тела по горизонтали будет равно: [ R = r + 2\pi r ]
После преобразования уравнения, получаем: [ R = r (1 + 2\pi) ] Отсюда находим ( r ): [ r = \frac{R}{1 + 2\pi} ]
Таким образом, расстояние от оси, на котором оторвалось тело, равно: [ r = \frac{R}{1 + 2\pi} ]
Это конечный ответ на задачу.
