1.Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг, если ось вращения его проходит перпендикулярно плоскости диска и на расстоянии 20 см от центра диска.
Для решения задач по определению момента инерции тел относительно различных осей воспользуемся теоретическими формулами и теоремой Штейнера.
Для сплошного однородного диска радиусом ( R ) и массой ( m ), момент инерции относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, вычисляется по формуле: [ I_{\text{центр}} = \frac{1}{2} m R^2 ]
В данном случае:
Подставляем значения: [ I_{\text{центр}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ кг} \cdot (0,4 \text{ м})^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0,16 = 0,08 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ]
Теперь, чтобы найти момент инерции относительно оси, проходящей на расстоянии ( d = 20 ) см = 0,2 м от центра диска, применим теорему Штейнера. Теорема Штейнера гласит: [ I = I_{\text{центр}} + m d^2 ]
Подставляем значения: [ I = 0,08 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + 1 \text{ кг} \cdot (0,2 \text{ м})^2 = 0,08 + 0,04 = 0,12 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ]
Таким образом, момент инерции сплошного однородного диска относительно указанной оси составляет ( 0,12 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ).
Для тонкого однородного стержня длиной ( L ) и массой ( m ), момент инерции относительно оси, проходящей через центр стержня перпендикулярно его длине, вычисляется по формуле: [ I_{\text{центр}} = \frac{1}{12} m L^2 ]
В данном случае:
Подставляем значения: [ I_{\text{центр}} = \frac{1}{12} \cdot 0,36 \text{ кг} \cdot (0,5 \text{ м})^2 = \frac{1}{12} \cdot 0,36 \cdot 0,25 = 0,0075 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ]
Теперь, чтобы найти момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня, применим теорему Штейнера: [ I = I_{\text{центр}} + m \left(\frac{L}{2}\right)^2 ]
Подставляем значения: [ I = 0,0075 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + 0,36 \text{ кг} \cdot \left(\frac{0,5 \text{ м}}{2}\right)^2 = 0,0075 + 0,36 \cdot 0,0625 = 0,0075 + 0,0225 = 0,03 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ]
Таким образом, момент инерции тонкого однородного стержня относительно указанной оси составляет ( 0,03 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ).
Момент инерции сплошного однородного диска I = 1/2 m r^2, где m - масса диска, r - радиус диска. Подставляем значения: I = 1/2 1 кг (0.4 м)^2 = 0.08 кг*м^2.
Момент инерции тонкого однородного стержня I = 1/3 m L^2, где m - масса стержня, L - длина стержня. Переводим массу в килограммы: m = 360 г = 0.36 кг. Подставляем значения: I = 1/3 0.36 кг (0.5 м)^2 = 0.03 кг*м^2.
Момент инерции сплошного однородного диска можно вычислить по формуле: [ I = \frac{1}{2} m r^2 ] где (m = 1) кг - масса диска, (r = 0.4) м - радиус диска. Подставляя значения, получаем: [ I = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.4)^2 = 0.08 \, кг \cdot м^2 ]
Момент инерции тонкого однородного стержня можно вычислить по формуле: [ I = \frac{1}{3} m L^2 ] где (m = 0.36) кг - масса стержня, (L = 0.5) м - длина стержня. Подставляя значения, получаем: [ I = \frac{1}{3} \times 0.36 \times (0.5)^2 = 0.03 \, кг \cdot м^2 ]
Надеюсь, это поможет вам!
