1)Точка движется прямолинейно по закону x=t^3-9t^2+24t Найдите отношение пути,пройденного точкой за...

1) Для нахождения отношения пути, пройденного точкой за первые 5 секунд движения к пути, пройденному за первые 3 секунды, нужно найти значения координаты точки в моменты времени t=5 и t=3 и вычислить разницу между этими значениями.

Для t=5: x = 5^3 - 95^2 + 245 = 125 - 225 + 120 = 20 Для t=3: x = 3^3 - 93^2 + 243 = 27 - 81 + 72 = 18

Отношение пути за первые 5 секунд к пути за первые 3 секунды: 20/18 = 10/9

2) Угловое ускорение колеса можно найти, зная зависимость линейной скорости точки на ободе колеса от времени. Угловая скорость колеса ω связана с линейной скоростью v и радиусом колеса R следующим образом: ω = v/R.

Поэтому угловое ускорение α равно производной угловой скорости по времени: α = dω/dt. Так как v = 4t + 2t^2, угловая скорость ω = (4t + 2t^2)/R.

Тогда угловое ускорение колеса через 5 секунд после начала движения: α = dω/dt = d((4t + 2t^2)/R)/dt = (4 + 4t)/R

Подставляем t=5: α = (4 + 4*5)/R = 24/R (единицы измерения углового ускорения обычно радианы в секунду в квадрате)

Давайте разберем оба вопроса по очереди.

1) Определение отношения пути, пройденного точкой за первые 5 секунд движения, к пути, пройденному за первые 3 секунды.

Закон движения точки задается уравнением: [ x(t) = t^3 - 9t^2 + 24t ]

Чтобы найти путь, пройденный точкой, нужно рассмотреть изменения координаты ( x(t) ) на заданных интервалах времени. Путь — это сумма модулей приращений координаты на каждом интервале, где происходит изменение направления движения.

Сначала найдем производную ( x(t) ), чтобы определить скорость и моменты изменения направления: [ v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 18t + 24 ]

Теперь найдем моменты времени, когда скорость равна нулю (изменение направления движения): [ 3t^2 - 18t + 24 = 0 ]

Разделим уравнение на 3: [ t^2 - 6t + 8 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение: [ t = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} ]

Получаем корни: [ t_1 = 4, \quad t_2 = 2 ]

Это означает, что точка меняет направление в моменты времени ( t = 2 ) и ( t = 4 ).

Теперь вычислим путь за первые 3 секунды:

1. Для ( 0 \leq t \leq 2 ): [ x(0) = 0, \quad x(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 = 8 - 36 + 48 = 20 ] Путь от 0 до 2 секунд: ( |x(2) - x(0)| = 20 ).

2. Для ( 2 \leq t \leq 3 ): [ x(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 = 27 - 81 + 72 = 18 ] Путь от 2 до 3 секунд: ( |x(3) - x(2)| = |18 - 20| = 2 ).

Общий путь за 3 секунды: ( 20 + 2 = 22 ).

Теперь вычислим путь за первые 5 секунд:

1. Для ( 3 \leq t \leq 4 ): [ x(4) = 4^3 - 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 = 64 - 144 + 96 = 16 ] Путь от 3 до 4 секунд: ( |x(4) - x(3)| = |16 - 18| = 2 ).

2. Для ( 4 \leq t \leq 5 ): [ x(5) = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 = 125 - 225 + 120 = 20 ] Путь от 4 до 5 секунд: ( |x(5) - x(4)| = |20 - 16| = 4 ).

Общий путь за 5 секунд: ( 20 + 2 + 2 + 4 = 28 ).

Отношение пути за 5 секунд к пути за 3 секунды: [ \frac{28}{22} = \frac{14}{11} ]

2) Найдите угловое ускорение колеса через 5 секунд после начала движения.

Зависимость линейной скорости от времени задана как: [ v(t) = 4t + 2t^2 ]

Линейная скорость связана с угловой скоростью следующим образом: [ v = r \cdot \omega ]

Где ( r = 1 ) м (расстояние от оси вращения), следовательно: [ \omega(t) = \frac{v(t)}{r} = 4t + 2t^2 ]

Теперь найдем угловое ускорение, дифференцируя угловую скорость по времени: [ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d(4t + 2t^2)}{dt} = 4 + 4t ]

Через 5 секунд, угловое ускорение: [ \alpha(5) = 4 + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24 \, \text{рад/с}^2 ]

Таким образом, угловое ускорение через 5 секунд равно 24 рад/с².