Амплитуда колебаний 2 см. Сколько времени прошло от начала колебаний , если смещение равно 1 см , а...

Давайте разберем задачу пошагово.

Условия задачи:

1. Амплитуда колебаний ( x_m = 2 \, \text{см} ).
2. Смещение ( x = 1 \, \text{см} ) на момент времени ( t ).
3. Закон колебаний: ( x = x_m \cos(\omega t) ).

Нужно найти время ( t ), когда смещение ( x = 1 \, \text{см} ).

Шаг 1: Подставим известные значения в закон колебаний

Воспользуемся формулой ( x = x_m \cos(\omega t) ) и подставим данные: [ 1 = 2 \cos(\omega t). ]

Упростим уравнение: [ \cos(\omega t) = \frac{1}{2}. ]

Шаг 2: Определим значение ( \omega t )

Косинус равен ( \frac{1}{2} ) в точках: [ \omega t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, ] где ( n ) — целое число, отражающее периодичность косинуса.

Однако, так как нас интересует только первый момент времени ( t \geq 0 ), мы берём положительное значение: [ \omega t = \frac{\pi}{3}. ]

Шаг 3: Найдём время ( t )

Связь угловой частоты ( \omega ) и периода ( T ): [ \omega = \frac{2\pi}{T}. ]

Тогда: [ t = \frac{\omega t}{\omega} = \frac{\pi/3}{\omega}. ]

Подставляем ( \omega = \frac{2\pi}{T} ): [ t = \frac{\pi / 3}{2\pi / T} = \frac{T}{6}. ]

Шаг 4: Ответ

Время, прошедшее от начала колебаний до момента, когда смещение стало равным ( 1 \, \text{см} ), составляет ( t = \frac{T}{6} ), где ( T ) — период колебаний.

Если известен период ( T ), можно подставить его значение, чтобы вычислить конкретное число.

Для решения данной задачи будем использовать закон колебаний, который описывается уравнением:

[ x = x_m \cos(\omega t) ]

где:

• ( x ) — смещение в данный момент времени,
• ( x_m ) — амплитуда колебаний,
• ( \omega ) — угловая частота,
• ( t ) — время.

В нашей задаче амплитуда колебаний ( x_m = 2 ) см, а смещение ( x = 1 ) см. Подставим эти значения в уравнение:

[ 1 = 2 \cos(\omega t) ]

Теперь преобразуем уравнение:

[ \cos(\omega t) = \frac{1}{2} ]

Теперь найдём угол ( \omega t ):

[ \omega t = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) ]

Значение ( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) ) равно ( \frac{\pi}{3} ) радиан (или 60 градусов). Однако, поскольку косинус — это периодическая функция, существуют и другие углы, для которых значение косинуса равно ( \frac{1}{2} ):

[ \omega t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \omega t = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Для простоты возьмем первый случай (для ( k = 0 )). Таким образом:

[ \omega t = \frac{\pi}{3} ]

Теперь необходимо определить угловую частоту ( \omega ). Угловая частота связана с периодом ( T ) колебаний:

[ \omega = \frac{2\pi}{T} ]

Чтобы продолжить, нам нужно знать период колебаний ( T ). Если он не указан, мы можем оставить ответ в виде ( t ) через ( T ).

Теперь выразим ( t ):

[ t = \frac{\pi}{3\omega} = \frac{\pi T}{6\pi} = \frac{T}{6} ]

Таким образом, время ( t ) равняется ( \frac{T}{6} ), где ( T ) — период колебаний. Если известен период, то можно подставить его значение и получить конкретное время.

В случае, если период не известен, можно сказать, что время от начала колебания, когда смещение равно 1 см, составляет ( \frac{T}{6} ).