Амплитуда колебаний напряжения в контуре 100В, частота колебаний 5МГц. Через какое время напряжение...

Амплитуда колебаний напряжения в контуре равна 100 В, а частота колебаний составляет 5 МГц. Для решения задачи определим, через какое время напряжение впервые станет равным 71 В, используя законы гармонических колебаний.

1. Основные уравнения

Гармоническое колебание напряжения ( U(t) ) записывается в виде: [ U(t) = U_0 \cdot \cos(\omega t), ] где:

• ( U_0 = 100 \, \text{В} ) — амплитуда напряжения,
• ( \omega = 2\pi f ) — круговая (угловая) частота,
• ( f = 5 \, \text{МГц} = 5 \cdot 10^6 \, \text{Гц} ) — частота колебаний,
• ( t ) — время.

Нам известно, что ( U(t) = 71 \, \text{В} ). Подставим это значение в уравнение и найдем момент времени ( t ).

2. Найдем угловую частоту

Угловая частота ( \omega ) связана с частотой ( f ) выражением: [ \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 5 \cdot 10^6 = 10\pi \cdot 10^6 = 10^7 \pi \, \text{рад/с}. ]

3. Уравнение для времени

Подставляем известные значения в уравнение: [ 71 = 100 \cdot \cos(\omega t). ] Выразим косинус: [ \cos(\omega t) = \frac{71}{100} = 0.71. ]

Теперь найдём значение ( \omega t ), учитывая, что: [ \omega t = \arccos(0.71). ]

4. Вычислим ( \arccos(0.71) )

С использованием таблиц или калькулятора: [ \arccos(0.71) \approx 0.7854 \, \text{рад}. ]

5. Найдем время ( t )

Зная, что ( \omega = 10^7 \pi \, \text{рад/с} ), выражаем время: [ t = \frac{\arccos(0.71)}{\omega}. ] Подставим значения: [ t = \frac{0.7854}{10^7 \pi} = \frac{0.7854}{3.14159 \cdot 10^7}. ]

Выполним вычисления: [ t \approx \frac{0.7854}{31.4159 \cdot 10^6} \approx 0.025 \cdot 10^{-6} \, \text{с}. ]

Или: [ t \approx 25 \, \text{нс}. ]

Ответ:

Напряжение впервые достигнет значения 71 В через ( t \approx 25 \, \text{нс} ).

Чтобы определить, через какое время напряжение в LC-контуре (или RLC-контуре) впервые достигнет значения 71 В, начнем с формулы для гармонического колебания.

Напряжение в контуре можно описать уравнением:

[ U(t) = U_0 \cdot \sin(\omega t + \phi), ]

где:

• ( U(t) ) — напряжение в момент времени ( t ),
• ( U_0 ) — амплитуда колебаний напряжения (в данном случае 100 В),
• ( \omega ) — угловая частота,
• ( t ) — время,
• ( \phi ) — начальная фаза.

Угловая частота ( \omega ) связана с частотой ( f ) следующим образом:

[ \omega = 2\pi f. ]

В данном случае частота ( f = 5 \, \text{МГц} = 5 \times 10^6 \, \text{Гц} ). Подставим это значение в формулу для угловой частоты:

[ \omega = 2\pi \cdot 5 \times 10^6 \approx 31.4159 \times 10^6 \, \text{рад/с}. ]

Теперь мы можем записать уравнение для напряжения:

[ U(t) = 100 \cdot \sin(31.4159 \times 10^6 t + \phi). ]

Мы хотим найти момент времени ( t ), когда ( U(t) = 71 \, \text{В} ). Подставим это значение в уравнение:

[ 71 = 100 \cdot \sin(31.4159 \times 10^6 t + \phi). ]

Разделим обе стороны на 100:

[ 0.71 = \sin(31.4159 \times 10^6 t + \phi). ]

Теперь найдем арксинус:

[ 31.4159 \times 10^6 t + \phi = \arcsin(0.71) + 2k\pi, ]

где ( k ) — целое число (учитываем периодичность синуса). Значение арксинуса можно вычислить:

[ \arcsin(0.71) \approx 0.754 \, \text{рад}. ]

Таким образом, у нас есть:

[ 31.4159 \times 10^6 t + \phi \approx 0.754 + 2k\pi. ]

Решим это уравнение для ( t ):

[ t \approx \frac{0.754 + 2k\pi - \phi}{31.4159 \times 10^6}. ]

Для первого положительного решения (при ( k = 0 )) и если предположить, что ( \phi = 0 ) (начальная фаза равна нулю), получаем:

[ t \approx \frac{0.754}{31.4159 \times 10^6} \approx 2.40 \times 10^{-8} \, \text{с}. ]

В результате, напряжение в контуре впервые достигнет 71 В примерно через ( 2.40 \, \text{нс} ). Если же начальная фаза не равна нулю, то необходимо учитывать её значение в расчетах, что изменит результат.