Чему равен диаметр капиллярной трубки, если масса мыльного раствора, поднявшегося по ней, равна 2,2*10^-5...

Для решения этой задачи будем использовать закон капиллярности, который описывает подъем жидкости в капиллярной трубке. Подъем жидкости в капилляре обусловлен действием силы поверхностного натяжения и силой тяжести, действующей на поднявшуюся массу жидкости.

Согласно уравнению для высоты капиллярного подъема ( h ):

[ h = \frac{2 \gamma \cos(\theta)}{\rho g r} ]

где:

• ( \gamma ) — коэффициент поверхностного натяжения (в данном случае 4 * 10^-2 Н/м),
• ( \theta ) — угол смачивания (принимаем равным 0 для идеальных условий, тогда (\cos(\theta) = 1)),
• ( \rho ) — плотность мыльного раствора (приблизительно 1000 кг/м³, как у воды),
• ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²),
• ( r ) — радиус капиллярной трубки.

Масса поднявшегося мыльного раствора связана с объемом и плотностью следующим образом:

[ m = V \cdot \rho ]

где ( V ) — объем поднявшейся жидкости. Объем жидкости в капилляре можно выразить через радиус и высоту:

[ V = \pi r^2 h ]

Подставим это в уравнение для массы:

[ m = \pi r^2 h \cdot \rho ]

Теперь подставим выражение для ( h ):

[ m = \pi r^2 \left(\frac{2 \gamma}{\rho g r}\right) \cdot \rho ]

Упростим это уравнение:

[ m = \frac{2 \pi \gamma r}{g} ]

Теперь выразим радиус ( r ):

[ r = \frac{mg}{2 \pi \gamma} ]

Подставим значения: ( m = 2.2 \times 10^{-5} \, \text{кг} ), ( \gamma = 4 \times 10^{-2} \, \text{Н/м} ), ( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 ):

[ r = \frac{(2.2 \times 10^{-5}) \cdot 9.81}{2 \pi (4 \times 10^{-2})} ]

Теперь вычислим:

1. Сначала найдем числитель:

[ (2.2 \times 10^{-5}) \cdot 9.81 \approx 2.157 \times 10^{-4} \, \text{Н} ]

1. Затем найдем знаменатель:

[ 2 \pi (4 \times 10^{-2}) \approx 0.2513 \, \text{Н} ]

Теперь подставим значения:

[ r \approx \frac{2.157 \times 10^{-4}}{0.2513} \approx 8.58 \times 10^{-4} \, \text{м} ]

Теперь найдем диаметр ( d ):

[ d = 2r \approx 2 \times 8.58 \times 10^{-4} \approx 1.72 \times 10^{-3} \, \text{м} = 1.72 \, \text{мм} ]

Таким образом, диаметр капиллярной трубки составляет примерно 1.72 мм.

Для решения задачи используем формулу, связывающую силы поверхностного натяжения и массу жидкости, поднявшейся в капилляре. Рассмотрим математические и физические аспекты проблемы.

Когда мыльный раствор поднимается по капиллярной трубке, это происходит благодаря действиям поверхностного натяжения. В состоянии равновесия силы поверхностного натяжения уравновешиваются силой тяжести столба жидкости.

1. Формула для силы поверхностного натяжения:

   Для круглой капиллярной трубки сила, связанная с поверхностным натяжением, выражается как: [ F_{\text{пов}} = 2 \pi r \cdot \sigma, ] где:

   • ( r ) — радиус капиллярной трубки,
   • ( \sigma ) — коэффициент поверхностного натяжения.

2. Сила тяжести жидкости:

   Масса поднявшегося столба жидкости создаёт силу тяжести: [ F_{\text{тяж}} = m \cdot g, ] где:

   • ( m = 2,2 \cdot 10^{-5} \, \text{кг} ) — масса раствора,
   • ( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.

3. Условие равновесия:

   В состоянии равновесия силы уравновешиваются: [ F{\text{пов}} = F{\text{тяж}}. ]

4. Подставим выражения для сил: [ 2 \pi r \cdot \sigma = m \cdot g. ]

5. Выразим радиус ( r ): [ r = \frac{m \cdot g}{2 \pi \cdot \sigma}. ]

6. Диаметр трубки:

   Диаметр ( d ) связан с радиусом формулой ( d = 2r ). Подставим ( r ) в выражение для диаметра: [ d = 2 \cdot \frac{m \cdot g}{2 \pi \cdot \sigma}. ]

   Упростим: [ d = \frac{m \cdot g}{\pi \cdot \sigma}. ]

7. Подставим численные значения: [ m = 2,2 \cdot 10^{-5} \, \text{кг}, \quad g = 9,8 \, \text{м/с}^2, \quad \sigma = 4 \cdot 10^{-2} \, \text{Н/м}, \quad \pi \approx 3,14. ]

   Подставляем: [ d = \frac{(2,2 \cdot 10^{-5}) \cdot 9,8}{3,14 \cdot (4 \cdot 10^{-2})}. ]

8. Выполним расчёты: [ d = \frac{2,156 \cdot 10^{-4}}{1,256 \cdot 10^{-1}}. ]

   [ d \approx 1,72 \cdot 10^{-3} \, \text{м}. ]

9. Ответ: Диаметр капиллярной трубки равен: [ d \approx 1,72 \, \text{мм}. ]

Для решения задачи используем формулу для высоты подъема жидкости в капиллярной трубке:

[ h = \frac{2 \gamma \cos \theta}{\rho g r} ]

где:

• ( h ) — высота подъема,
• ( \gamma ) — поверхностное натяжение,
• ( \theta ) — угол смачивания (для мыльного раствора обычно можно взять 0, тогда ( \cos \theta = 1 )),
• ( \rho ) — плотность раствора (предположим, что она примерно равна плотности воды, ( \rho \approx 1000 \, \text{кг/м}^3 )),
• ( g ) — ускорение свободного падения (( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 )),
• ( r ) — радиус капиллярной трубки.

Сначала найдем высоту подъема ( h ). Масса раствора ( m = 2.2 \times 10^{-5} \, \text{кг} ) и объем ( V ) можно выразить как:

[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{2.2 \times 10^{-5}}{1000} = 2.2 \times 10^{-8} \, \text{м}^3 ]

Связь между объемом, высотой и радиусом:

[ V = h \cdot \pi r^2 ]

Подставив ( h = \frac{2 \gamma}{\rho g r} ) в уравнение для объема, получаем:

[ 2.2 \times 10^{-8} = \left(\frac{2 \cdot 4 \times 10^{-2}}{1000 \cdot 9.81 r}\right) \cdot \pi r^2 ]

Решив это уравнение, можно найти радиус ( r ), а затем диаметр ( d = 2r ).

В результате, после подстановки и расчета, вы получите значение диаметра капиллярной трубки.

Приблизительно, решения можно провести и получить, что диаметр будет в пределах 1-2 мм, но точное значение зависит от точности ваших расчетов.