Четыре маленьких шарика одинаковой массы, жестко закрепленные невесомыми стержнями, образуют квадрат. Отношение моментов инерции системы I1 / I2 относительно оси, совпадающей со стороной квадрата (I1), и с его диагональю (I2) равно …
Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой Гюйгенса-Штейнера, которая позволяет вычислить момент инерции относительно произвольной оси, если известен момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс.
Пусть масса каждого шарика равна m, а сторона квадрата равна a. Тогда момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной одной из сторон, будет равен I1 = 2m(a^2) + 2m(2a)^2 = 10ma^2.
Момент инерции системы относительно диагонали квадрата равен I2 = 4m(a^2) + 4m(a^2) = 8ma^2.
Отношение моментов инерции системы I1 / I2 = 10ma^2 / 8ma^2 = 5/4.
Итак, ответ: 5/4.
Для решения этой задачи рассмотрим моменты инерции системы шариков относительно данных осей.
Момент инерции относительно оси, совпадающей со стороной квадрата (I1):
Допустим, квадрат имеет сторону (a), и шарики расположены в его вершинах. Ось проходит через две вершины квадрата и совпадает с одной из его сторон.
Рассмотрим два шарика, которые находятся на оси. Их момент инерции относительно этой оси равен нулю, так как расстояние до оси вращения равно нулю.
Два других шарика находятся на расстоянии (a) от оси. Момент инерции каждого из них относительно оси будет равен (m \cdot a^2), где (m) — масса шарика.
Следовательно, момент инерции системы относительно этой оси составит: [ I_1 = 2 \cdot m \cdot a^2 ]
Момент инерции относительно оси, совпадающей с диагональю квадрата (I2):
Теперь рассмотрим ось, проходящую через центр квадрата и совпадающую с его диагональю.
Для каждого шарика расстояние до оси будет равно половине диагонали квадрата. Длина диагонали квадрата со стороной (a) равна (a\sqrt{2}). Следовательно, расстояние от каждого шарика до оси равно ( \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} ).
Момент инерции одного шарика относительно этой оси будет равен: [ m \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^2 = m \cdot \frac{a^2}{2} ]
Так как шариков четыре, то момент инерции системы относительно оси, совпадающей с диагональю квадрата: [ I_2 = 4 \cdot m \cdot \frac{a^2}{2} = 2 \cdot m \cdot a^2 ]
Отношение моментов инерции ( \frac{I_1}{I_2} ):
Теперь можем найти отношение моментов инерции: [ \frac{I_1}{I_2} = \frac{2 \cdot m \cdot a^2}{2 \cdot m \cdot a^2} = 1 ]
Таким образом, правильный ответ — 4. 1.
