Два шарика, массы которых отличаются в 3 раза, висят, соприкасаясь, на вертикальных нитях. Лёгкий шарик...

Пусть масса лёгкого шарика равна m1, а масса тяжёлого шарика равна m2 = 3m1. После удара шарики будут двигаться вместе как одно тело, поэтому можно применить законы сохранения импульса и энергии.

До удара у лёгкого шарика кинетическая энергия полностью преобразуется в потенциальную энергию и энергию деформации нити, поэтому кинетическая энергия лёгкого шарика перед ударом равна 0.

После удара суммарная кинетическая энергия шариков равна сумме кинетических энергий каждого шарика до удара. Пусть кинетическая энергия лёгкого шарика после удара равна К, тогда кинетическая энергия тяжёлого шарика после удара будет 3К.

С учётом закона сохранения энергии можем записать уравнение: 0 = К + 3К, 0 = 4К, К = 0.

Таким образом, часть кинетической энергии лёгкого шарика перед ударом, которая составит его кинетическую энергию тотчас после удара, равна 0.

Рассмотрим задачу в деталях, используя законы сохранения импульса и энергии.

Дано:

1. Массы шариков: ( m_1 ) (лёгкий шарик) и ( m_2 = 3m_1 ) (тяжёлый шарик).
2. Лёгкий шарик отклоняют на угол ( 90^\circ ) и отпускают без начальной скорости.

Перед ударом:

Лёгкий шарик разгоняется под действием силы тяжести. Ему сообщается кинетическая энергия, которая раньше была потенциальной энергией. При отклонении на угол ( 90^\circ ) вся потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию.

Потенциальная энергия лёгкого шарика на высоте равна: [ E_p = m_1 g h ] где:

• ( g ) — ускорение свободного падения,
• ( h ) — высота, равная длине нити ( l ).

Кинетическая энергия лёгкого шарика перед ударом: [ E_k = m_1 g l ]

Скорость лёгкого шарика перед ударом ( v_1 ) можно найти из уравнения кинетической энергии: [ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = m_1 g l ] [ v_1^2 = 2 g l ] [ v_1 = \sqrt{2 g l} ]

Удар:

Пусть скорости шариков после удара будут ( v_1' ) для лёгкого шарика и ( v_2' ) для тяжёлого шарика. Используем законы сохранения импульса и кинетической энергии для абсолютно упругого удара.

Закон сохранения импульса:

[ m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2' ] [ m_1 \sqrt{2 g l} = m_1 v_1' + 3m_1 v_2' ] [ \sqrt{2 g l} = v_1' + 3 v_2' ]

Закон сохранения кинетической энергии:

[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2 ] [ \frac{1}{2} m_1 (2 g l) = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} (3 m_1) v_2'^2 ] [ m_1 g l = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{3}{2} m_1 v_2'^2 ] [ g l = \frac{1}{2} v_1'^2 + \frac{3}{2} v_2'^2 ]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. ( \sqrt{2 g l} = v_1' + 3 v_2' )
2. ( g l = \frac{1}{2} v_1'^2 + \frac{3}{2} v_2'^2 )

Решаем систему уравнений. Перепишем первое уравнение для ( v_1' ): [ v_1' = \sqrt{2 g l} - 3 v_2' ]

Подставим это в уравнение энергии: [ g l = \frac{1}{2} (\sqrt{2 g l} - 3 v_2')^2 + \frac{3}{2} v_2'^2 ]

Раскроем скобки и упростим: [ g l = \frac{1}{2} (2 g l - 6 v_2' \sqrt{2 g l} + 9 v_2'^2) + \frac{3}{2} v_2'^2 ] [ g l = g l - 3 v_2' \sqrt{2 g l} + \frac{9}{2} v_2'^2 + \frac{3}{2} v_2'^2 ] [ g l = g l - 3 v_2' \sqrt{2 g l} + 6 v_2'^2 ] [ 0 = - 3 v_2' \sqrt{2 g l} + 6 v_2'^2 ] [ 3 v_2' \sqrt{2 g l} = 6 v_2'^2 ] [ \sqrt{2 g l} = 2 v_2' ] [ v_2' = \frac{\sqrt{2 g l}}{2} ] [ v_2' = \frac{1}{\sqrt{2 g l}} ]

Теперь найдем ( v_1' ): [ v_1' = \sqrt{2 g l} - 3 v_2' ] [ v_1' = \sqrt{2 g l} - 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 g l}} ] [ v_1' = \sqrt{2 g l} - \frac{3}{\sqrt{2 g l}} ]

Кинетическая энергия лёгкого шарика после удара:

[ E_k' = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 ]

Отношение кинетической энергии после удара к кинетической энергии перед ударом: [ \frac{E_k'}{E_k} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1'^2}{m_1 g l} ] [ \frac{E_k'}{E_k} = \frac{v_1'^2}{2 g l} ]

Подставим ( v_1' ): [ v_1' = \sqrt{2 g l} - \frac{3}{\sqrt{2 g l}} ] [ v_1'^2 = (\sqrt{2 g l} - \frac{3}{\sqrt{2 g l}})^2 ] [ v_1'^2 = 2 g l - 2 \cdot \sqrt{2 g l} \cdot \frac{3}{\sqrt{2 g l}} + \frac{9}{2 g l} ] [ v_1'^2 = 2 g l - 6 + \frac{9}{2 g l} ]

Распределение энергии: [ \frac{E_k'}{E_k} = \frac{2 g l - 6 + \frac{9}{2 g l}}{2 g l} ]

Сравним: [ \frac{E_k'}{E_k} = 1 - \frac{3}{\sqrt{2 g l}} ]

Таким образом, кинетическая энергия лёгкого шарика после удара составит (\frac{1}{4}) от его кинетической энергии перед ударом.

Пусть массы лёгкого и тяжёлого шариков равны m и 3m соответственно. Пусть скорость лёгкого шарика после удара равна V, тогда его скорость до удара равна sqrt(2gh), где h - высота, на которую шарик подняли. Тогда кинетическая энергия лёгкого шарика до удара равна mgh, а после удара - 0.5mV^2. После столкновения лёгкий шарик и тяжёлый шарик будут двигаться вместе со скоростью V/4. Тогда кинетическая энергия системы после удара составит 1.125mV^2. Доля кинетической энергии лёгкого шарика после удара от его начальной кинетической энергии будет равна (0.5mV^2) / (1.125mV^2) = 2/9 = 0.22222222222.