Два тела массами m1 и m2 прикреплены к нитям одинаковой длины l с общей точкой подвеса. Тела отклонили в разные стороны на угол α = 90 и отпустили без толчка. Какую скорость будут иметь эти тела в результате абсолютно неупругого удара?
Два тела массами m1 и m2 прикреплены к нитям одинаковой длины l с общей точкой подвеса. Тела отклонили в разные стороны на угол α = 90 и отпустили без толчка. Какую скорость будут иметь эти тела в результате абсолютно неупругого удара?
Для решения данной задачи нам нужно использовать законы сохранения энергии и импульса.
После отпускания тела начнут двигаться в стороны, образуя плоское движение. При этом общий центр масс системы тел будет двигаться по прямой линии и сохранять свою скорость.
После столкновения два тела станут двигаться как одно тело массой m1 + m2. Поскольку удар абсолютно неупругий, сохраняется импульс системы до и после удара:
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) * v
где v1 и v2 - скорости тел до удара, v - скорость общего тела после удара.
Также, по закону сохранения энергии, кинетическая энергия системы до удара равна кинетической энергии после удара:
(1/2) m1 v1^2 + (1/2) m2 v2^2 = (1/2) (m1 + m2) v^2
Используя данные уравнения, можно найти скорость v после удара.
Для решения данной задачи нам нужно использовать законы сохранения механической энергии и закон сохранения импульса. Давайте рассмотрим каждый этап процесса отдельно:
Когда тела отклонены на угол (\alpha = 90^\circ), они находятся на высоте (l) относительно точки равновесия. В начальный момент времени их потенциальная энергия максимальна и равна (mgh), где (h = l).
Когда тела отпускают, они начинают двигаться вниз, преобразуя потенциальную энергию в кинетическую. В нижней точке траектории, где осуществляется удар, вся потенциальная энергия будет превращена в кинетическую энергию.
Для каждого тела можно записать уравнение сохранения энергии:
[ m_1 g l = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 ] [ m_2 g l = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 ]
где (v_1) и (v_2) - скорости тел (m_1) и (m_2) в момент удара.
Решая эти уравнения относительно (v_1) и (v_2), получаем:
[ v_1 = \sqrt{2gl} ] [ v_2 = \sqrt{2gl} ]
При абсолютно неупругом ударе тела соединяются и движутся как одно целое. Используем закон сохранения импульса для системы:
[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v ]
Так как тела движутся навстречу друг другу, импульсы направлены в противоположные стороны. Введем направления: пусть (v_1) направлена вправо, тогда (v_2) направлена влево. Соответственно, (v_2) возьмем с отрицательным знаком:
[ m_1 \sqrt{2gl} - m_2 \sqrt{2gl} = (m_1 + m_2) v ]
Решая это уравнение относительно (v), получаем:
[ v = \frac{m_1 \sqrt{2gl} - m_2 \sqrt{2gl}}{m_1 + m_2} ] [ v = \sqrt{2gl} \cdot \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} ]
Таким образом, скорость (v) тел после абсолютно неупругого удара будет:
[ v = \sqrt{2gl} \cdot \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} ]
Это конечная скорость системы после удара.
