Два тела с массами 2 и 4 кг движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями 3 м/с. Определить...

Для решения данной задачи можно воспользоваться законом сохранения импульса и законом сохранения энергии.

Импульс - это величина, равная произведению массы тела на его скорость. Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов замкнутой системы тел остается постоянной до и после удара.

Импульс до удара: P = m₁v₁ + m₂v₂ = 2кг 3м/с + 4кг (-3м/с) = 6кг∙м/с - 12кг∙м/с = -6кг∙м/с Импульс после удара: P' = m₁v₁' + m₂v₂'

Так как у нас абсолютно упругий удар, то закон сохранения энергии гласит, что кинетическая энергия системы тел остается постоянной до и после удара.

Кинетическая энергия до удара: E = (m₁v₁² + m₂v₂²) / 2 = (2кг (3м/с)² + 4кг (3м/с)²) / 2 = (18Дж + 36Дж) / 2 = 27Дж Кинетическая энергия после удара: E' = (m₁v₁'² + m₂v₂'²) / 2

Таким образом, мы можем составить систему уравнений:

1. m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂' (закон сохранения импульса)
2. m₁v₁² + m₂v₂² = m₁v₁'² + m₂v₂'² (закон сохранения энергии)

Подставляем известные значения и решаем систему уравнений:

1. 2∙3 + 4∙(-3) = 2v₁' + 4v₂' => 6 - 12 = 2v₁' + 4v₂' => -6 = 2v₁' + 4v₂' => -3 = v₁' + 2v₂' (1)
2. 2∙(3)² + 4∙(3)² = 2v₁'² + 4v₂'² => 18 + 36 = 2v₁'² + 4v₂'² => 54 = 2v₁'² + 4v₂'² => 27 = v₁'² + 2v₂'² (2)

Из уравнений (1) и (2) можно найти значения скоростей тел после удара.

После абсолютно упругого центрального удара скорости тел поменяются местами и будут равны 3 м/с.

Для решения задачи об абсолютно упругом центральном ударе двух тел воспользуемся законами сохранения импульса и кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса: В системе отсчёта, где оба тела движутся навстречу друг другу, суммарный импульс до удара равен суммарному импульсу после удара. Обозначим массы тел как ( m_1 = 2 \, \text{кг} ) и ( m_2 = 4 \, \text{кг} ), а их скорости до удара как ( v_1 = 3 \, \text{м/с} ) и ( v_2 = -3 \, \text{м/с} ) (знак минус указывает на противоположное направление движения второго тела).

   Закон сохранения импульса запишется в виде: [ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' ] Подставив известные значения, получаем: [ 2 \cdot 3 + 4 \cdot (-3) = 2v_1' + 4v_2' ] [ 6 - 12 = 2v_1' + 4v_2' ] [ -6 = 2v_1' + 4v_2' ]

2. Закон сохранения кинетической энергии: В абсолютно упругом ударе сохраняется не только импульс, но и полная кинетическая энергия системы: [ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2 ] Подставим известные значения: [ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (-3)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v_1'^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot v_2'^2 ] [ 9 + 18 = v_1'^2 + 2v_2'^2 ] [ 27 = v_1'^2 + 2v_2'^2 ]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. ( 2v_1' + 4v_2' = -6 )
2. ( v_1'^2 + 2v_2'^2 = 27 )

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим ( v_1' ): [ v_1' = -3 - 2v_2' ]

Подставим это выражение во второе уравнение: [ (-3 - 2v_2')^2 + 2v_2'^2 = 27 ] Раскроем скобки: [ 9 + 12v_2' + 4v_2'^2 + 2v_2'^2 = 27 ] [ 6v_2'^2 + 12v_2' + 9 = 27 ] [ 6v_2'^2 + 12v_2' - 18 = 0 ] Разделим все на 6: [ v_2'^2 + 2v_2' - 3 = 0 ]

Решим квадратное уравнение: [ v_2' = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} ] [ v_2' = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} ] [ v_2' = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ v_2' = \frac{-2 \pm 4}{2} ]

Получаем два решения:

1. ( v_2' = 1 )
2. ( v_2' = -3 )

Для ( v_2' = 1 ): [ v_1' = -3 - 2 \cdot 1 = -5 ]

Для ( v_2' = -3 ): [ v_1' = -3 - 2 \cdot (-3) = 3 ]

Физически корректное решение (учитывая направление и массы) будет:

• После удара тело массы 2 кг будет двигаться со скоростью ( v_1' = -5 \, \text{м/с} ).
• Тело массы 4 кг будет двигаться со скоростью ( v_2' = 1 \, \text{м/с} ).