Два точечных заряда q1 и q2 находятся на расстоянии друг от друга. Если расстояние между ними уменьшится...

Для решения этой задачи воспользуемся законом Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя точечными зарядами. По этому закону сила ( F ) взаимодействия между зарядами ( q_1 ) и ( q_2 ) на расстоянии ( r ) описывается формулой:

[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} ]

где ( k ) — коэффициент пропорциональности (константа Кулона).

Пусть начальное расстояние между зарядами равно ( r ). Тогда сила взаимодействия между ними будет:

[ F_1 = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} ]

Когда расстояние между зарядами уменьшается на 50 см (или 0,5 м), новое расстояние будет равно ( r - 0.5 ). Сила взаимодействия при этом расстоянии будет равна:

[ F_2 = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{(r - 0.5)^2} ]

Согласно условию задачи, новая сила взаимодействия ( F_2 ) в два раза больше первоначальной силы ( F_1 ):

[ F_2 = 2F_1 ]

Подставим выражения для сил в это уравнение:

[ k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{(r - 0.5)^2} = 2 \cdot \left( k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \right) ]

Мы можем сократить ( k ) и ( |q_1 \cdot q_2| ) (при условии, что они не равны нулю):

[ \frac{1}{(r - 0.5)^2} = \frac{2}{r^2} ]

Теперь, перемножив обе части уравнения на ( (r - 0.5)^2 \cdot r^2 ), получим:

[ r^2 = 2(r - 0.5)^2 ]

Раскроем скобки:

[ r^2 = 2(r^2 - r + 0.25) ]

Упрощая это уравнение, получим:

[ r^2 = 2r^2 - 2r + 0.5 ]

Переносим все члены на одну сторону:

[ 0 = 2r^2 - r^2 - 2r + 0.5 ]

[ 0 = r^2 - 2r + 0.5 ]

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5 = 4 - 2 = 2 ]

Находим корни уравнения:

[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для ( r ):

1. ( r_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} ) (приблизительно 1.414)
2. ( r_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ) (приблизительно 0.586)

Поскольку расстояние между зарядами не может быть отрицательным или очень маленьким в данном контексте, принимаем значение ( r_1 ):

[ r \approx 1.414 \, \text{м} ]

Итак, расстояние между двумя точечными зарядами равно примерно 1.414 метра.

Для решения этой задачи воспользуемся законом Кулона. Согласно закону Кулона, сила взаимодействия двух точечных зарядов ( q_1 ) и ( q_2 ) выражается формулой:

[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}, ] где:

• ( F ) — сила взаимодействия зарядов,
• ( k ) — электрическая постоянная (( k \approx 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 )),
• ( q_1 ) и ( q_2 ) — величины зарядов,
• ( r ) — расстояние между зарядами.

Условие задачи

1. Сила увеличивается в 2 раза при уменьшении расстояния между зарядами на 50 см, т.е. ( F_2 = 2F_1 ).
2. Первоначальное расстояние обозначим за ( r_1 ), а новое расстояние будет равно ( r_2 = r_1 - 0.5 ) (в метрах).

Шаг 1: Связь между силами

Из закона Кулона следует, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом, отношение сил ( F_2/F_1 ) выражается следующим образом: [ \frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r_2^2}}{\frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r_1^2}} = \frac{r_1^2}{r_2^2}. ]

По условию ( F_2 = 2F_1 ), следовательно: [ \frac{r_1^2}{r_2^2} = 2. ]

Шаг 2: Подставим ( r_2 = r_1 - 0.5 )

Теперь вместо ( r_2 ) подставим ( r_1 - 0.5 ): [ \frac{r_1^2}{(r_1 - 0.5)^2} = 2. ]

Шаг 3: Раскроем выражение

Раскроем квадрат в знаменателе: [ \frac{r_1^2}{(r_1^2 - 2 \cdot r_1 \cdot 0.5 + 0.5^2)} = 2. ]

Упростим: [ \frac{r_1^2}{r_1^2 - r_1 + 0.25} = 2. ]

Шаг 4: Умножим обе стороны на знаменатель

Умножим обе стороны уравнения на ( r_1^2 - r_1 + 0.25 ): [ r_1^2 = 2 \cdot (r_1^2 - r_1 + 0.25). ]

Раскроем скобки: [ r_1^2 = 2r_1^2 - 2r_1 + 0.5. ]

Перенесем всё в одну сторону: [ r_1^2 - 2r_1^2 + 2r_1 - 0.5 = 0. ]

Упростим: [ -r_1^2 + 2r_1 - 0.5 = 0. ]

Или: [ r_1^2 - 2r_1 + 0.5 = 0. ]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Это квадратное уравнение имеет вид: [ r_1^2 - 2r_1 + 0.5 = 0. ]

Решим его по формуле корней квадратного уравнения: [ r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = 0.5 ).

Подставим значения: [ r_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1}. ]

[ r_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2}}{2}. ]

[ r_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}. ]

Разделим на 2: [ r_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Поскольку расстояние не может быть отрицательным, берём положительное значение: [ r_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Приближённое значение: [ r_1 \approx 1 + 0.707 = 1.707 \, \text{м}. ]

Ответ:

Начальное расстояние между зарядами ( r_1 \approx 1.707 \, \text{м} ).