Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Для первой из них сила...

Отношение радиусов орбит первой и второй планет равно квадратному корню из 4, то есть 2.

Пусть ( F_1 ) - сила притяжения к звезде для первой планеты, ( F_2 ) - сила притяжения к звезде для второй планеты, ( r_1 ) - радиус орбиты первой планеты, ( r_2 ) - радиус орбиты второй планеты, ( m ) - масса планеты, ( M ) - масса звезды, ( G ) - постоянная гравитационного притяжения.

Так как сила притяжения пропорциональна произведению масс планеты и звезды, а обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то можно записать:

[ F_1 = \frac{GMm}{r_1^2} ] [ F_2 = \frac{GMm}{r_2^2} ]

Также, из условия задачи известно, что ( F_1 = 4 \cdot F_2 ), поэтому:

[ \frac{GMm}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{GMm}{r_2^2} ]

Сокращаем ( GMm ) и получаем:

[ \frac{1}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{1}{r_2^2} ] [ \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{1}{4} ]

Отсюда следует, что отношение радиусов орбит первой и второй планет равно 1 к 2. То есть ( r_1 = 2r_2 ).

Чтобы решить данную задачу, необходимо воспользоваться законом всемирного тяготения и законом движения планет по круговым орбитам.

Сила притяжения между планетой и звездой описывается законом всемирного тяготения:

[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}, ]

где:

• ( F ) — сила притяжения,
• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса звезды,
• ( m ) — масса планеты,
• ( r ) — радиус орбиты планеты.

Для первой планеты сила притяжения ( F_1 ) в 4 раза больше, чем для второй планеты ( F_2 ):

[ F_1 = 4F_2. ]

Подставим выражение для силы притяжения для каждой планеты:

[ \frac{G \cdot M \cdot m}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2}. ]

Сократим обе части уравнения на ( G \cdot M \cdot m ):

[ \frac{1}{r_1^2} = \frac{4}{r_2^2}. ]

Теперь перекрестно умножим, чтобы найти соотношение радиусов:

[ r_2^2 = 4r_1^2. ]

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

[ r_2 = 2r_1. ]

Таким образом, радиус орбиты второй планеты в 2 раза больше, чем радиус орбиты первой планеты. Отношение радиусов орбит первой и второй планет составляет ( \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} ).