Движение материальной точки описывается уравнением: x=4+3t^2. а) определить характер движения и его...

Давайте подробно разберем данный вопрос. Уравнение движения материальной точки задано как ( x = 4 + 3t^2 ), где ( x ) — координата точки (в метрах), ( t ) — время (в секундах).

а) Определить характер движения и его параметры

Уравнение ( x = 4 + 3t^2 ) описывает зависимость координаты от времени. Чтобы определить характер движения, рассмотрим, как изменяется эта координата:

1. Анализ уравнения:

   • ( 4 ) — это начальная координата точки при ( t = 0 ). Таким образом, точка стартует с позиции ( x = 4 ).
   • ( 3t^2 ) — квадратичная зависимость от времени, что указывает на равноускоренное движение по прямой, так как координата изменяется с ускорением.

2. Параметры движения:

   • Начальная координата: ( x_0 = 4 ) м.
   • Начальная скорость: Чтобы найти начальную скорость, вычисляем производную ( x(t) ) по ( t ): [ V_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4 + 3t^2) = 6t. ] При ( t = 0 ), начальная скорость ( V_x(0) = 6 \cdot 0 = 0 ). Следовательно, начальная скорость равна нулю.
   • Ускорение: Ускорение при равноускоренном движении является постоянной величиной. Для его нахождения берем вторую производную: [ a_x(t) = \frac{dV_x}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6. ] Таким образом, ускорение точки ( a_x = 6 ) м/с².
   • Характер движения: Это равноускоренное движение по прямой с начальной скоростью ( V_0 = 0 ) м/с, начальной координатой ( x_0 = 4 ) м и постоянным ускорением ( a_x = 6 ) м/с².

б) Записать уравнение скорости и перемещения

1. Уравнение скорости (вывели ранее): [ V_x(t) = \frac{dx}{dt} = 6t. ]

2. Уравнение перемещения: Перемещение ( \Delta x(t) ) — это разность между текущей координатой ( x(t) ) и начальной координатой ( x_0 ). Подставим в формулу: [ \Delta x(t) = x(t) - x_0 = (4 + 3t^2) - 4 = 3t^2. ] Таким образом, уравнение перемещения: [ \Delta x(t) = 3t^2. ]

в) Построить график ( V_x(t) )

Уравнение скорости ( V_x(t) = 6t ) — это линейная зависимость скорости от времени. График будет прямой, проходящей через начало координат (( t = 0, V_x = 0 )) с наклоном, равным ( 6 ) (коэффициент при ( t )).

Построение графика:

• При ( t = 0 ): ( V_x = 0 ).
• При ( t = 1 ): ( V_x = 6 \cdot 1 = 6 ) м/с.
• При ( t = 2 ): ( V_x = 6 \cdot 2 = 12 ) м/с.
• При ( t = 3 ): ( V_x = 6 \cdot 3 = 18 ) м/с.

График будет прямой линией, возрастающей с наклоном ( 6 ), в первой четверти координатной плоскости.

г) Построить график ( a_x(t) )

Ускорение ( a_x(t) = 6 ) — это постоянная величина, которая не зависит от времени. Следовательно, график ( a_x(t) ) будет горизонтальной прямой, параллельной оси времени.

Построение графика:

• При любом ( t ) (например, ( t = 0, t = 1, t = 2 ) и так далее) значение ( a_x = 6 ) м/с².

На графике это будет горизонтальная линия на уровне ( a_x = 6 ) м/с².

Итоговые ответы:

а) Характер движения: Равноускоренное движение с ( x_0 = 4 ) м, начальной скоростью ( V_0 = 0 ) м/с, и ускорением ( a_x = 6 ) м/с².

б) Уравнения:

• Скорость: ( V_x(t) = 6t ).
• Перемещение: ( \Delta x(t) = 3t^2 ).

в) График ( V_x(t) ): Линейная зависимость, проходит через начало координат, с наклоном ( 6 ).

г) График ( a_x(t) ): Горизонтальная линия на уровне ( a_x = 6 ) м/с².

Давайте разберем данное уравнение движения материальной точки, которое задано в виде ( x(t) = 4 + 3t^2 ).

а) Характер движения и его параметры

1. Характер движения: Уравнение имеет вид квадратичной функции, что указывает на то, что движение точки является равномерно ускоренным. Это связано с тем, что координата ( x ) зависит от квадрата времени ( t^2 ).

2. Параметры движения:

   • Начальная координата: При ( t = 0 ), ( x(0) = 4 ). Это означает, что точка начинает движение с позиции 4.
   • Ускорение: Уравнение имеет вид ( x(t) = 4 + 3t^2 ), что дает возможность определить ускорение. Чтобы найти ускорение, необходимо дважды продифференцировать ( x(t) ): [ v(t) = \frac{dx}{dt} = 6t ] [ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6 ] Ускорение ( a ) является постоянным и равным ( 6 \, \text{м/с}^2 ).

б) Уравнение скорости и уравнение перемещения

1. Уравнение скорости: Мы уже нашли его в процессе нахождения ускорения: [ v(t) = 6t ] Это уравнение показывает, что скорость увеличивается линейно с течением времени.

2. Уравнение перемещения: Уравнение перемещения уже задано изначально: [ x(t) = 4 + 3t^2 ] Это уравнение описывает положение точки в любой момент времени ( t ).

в) Построение графика скорости ( V_x(t) )

График уравнения скорости ( v(t) = 6t ) будет представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат (0,0) и имеющую положительный наклон. При ( t = 0 ), скорость равна 0, и с увеличением времени скорость возрастает.

г) Построение графика ускорения ( a_x(t) )

Уравнение ускорения, найденное ранее: [ a(t) = 6 ] Это уравнение показывает, что ускорение постоянно и равно 6 м/с² для всех значений времени ( t ). График ускорения будет представлять собой горизонтальную линию, находящуюся на уровне 6.

Итог

• Движение точки является равномерно ускоренным, с постоянным ускорением 6 м/с².
• Уравнение скорости: ( v(t) = 6t ).
• Уравнение перемещения: ( x(t) = 4 + 3t^2 ).
• График скорости – прямая, проходящая через начало координат, с положительным наклоном.
• График ускорения – горизонтальная линия на уровне 6 м/с².