Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 40 Н/м. С какой скоростью груз будет проходить...

Для определения скорости груза в положении равновесия можно использовать закон сохранения энергии. В положении равновесия вся потенциальная энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию груза.

Потенциальная энергия пружины в максимальном отклонении (амплитуде) определяется формулой:

[ U = \frac{1}{2} k A^2 ]

где:

• ( k = 40 \, \text{Н/м} ) — жесткость пружины,
• ( A = 0.01 \, \text{м} ) — амплитуда (1 см).

Подставим значения:

[ U = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (0.01)^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0.0001 = 0.002 \, \text{Дж} ]

Кинетическая энергия груза в положении равновесия равна:

[ K = \frac{1}{2} m v^2 ]

где ( m = 0.4 \, \text{кг} ) — масса груза, ( v ) — скорость в положении равновесия.

Приравняем потенциальную и кинетическую энергии:

[ \frac{1}{2} m v^2 = U ]

Подставим известные значения:

[ \frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot v^2 = 0.002 ]

Упрощаем:

[ 0.2 v^2 = 0.002 ]

[ v^2 = \frac{0.002}{0.2} = 0.01 ]

[ v = \sqrt{0.01} = 0.1 \, \text{м/с} ]

Таким образом, скорость груза в положении равновесия составит ( 0.1 \, \text{м/с} ).

Для решения задачи определим, с какой скоростью груз проходит положение равновесия при заданных параметрах. Рассмотрим физику колебаний в системе пружина-груз.

Дано:

• масса груза ( m = 400 \, \text{г} = 0{,}4 \, \text{кг} ),
• жесткость пружины ( k = 40 \, \text{Н/м} ),
• амплитуда колебаний ( A = 1 \, \text{см} = 0{,}01 \, \text{м} ).

Свободные колебания и закон сохранения энергии

При свободных колебаниях в системе "пружина-груз" действует закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы состоит из потенциальной энергии пружины и кинетической энергии груза. В положении равновесия потенциальная энергия пружины равна нулю, а вся энергия системы сосредоточена в кинетической энергии груза.

Полная энергия системы: [ E = \frac{1}{2} k A^2, ] где ( k ) — жесткость пружины, ( A ) — амплитуда колебаний.

Кинетическая энергия груза в положении равновесия: [ E = \frac{1}{2} m v{\text{max}}^2, ] где ( v{\text{max}} ) — максимальная скорость груза, совпадающая со скоростью в положении равновесия.

Приравняем эти энергии: [ \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2. ]

Выразим максимальную скорость:

[ v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot A. ]

Подставим значения:

• ( k = 40 \, \text{Н/м} ),
• ( m = 0{,}4 \, \text{кг} ),
• ( A = 0{,}01 \, \text{м} ).

[ v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{40}{0{,}4}} \cdot 0{,}01. ]

Вычислим: [ \frac{40}{0{,}4} = 100, ] [ \sqrt{100} = 10. ]

Теперь: [ v_{\text{max}} = 10 \cdot 0{,}01 = 0{,}1 \, \text{м/с}. ]

Ответ:

Максимальная скорость груза (скорость в положении равновесия) равна ( v_{\text{max}} = 0{,}1 \, \text{м/с} ).

Для решения задачи о скорости груза в положении равновесия при свободных колебаниях на пружине, можем воспользоваться законами механики гармонических колебаний.

Груз, находящийся на пружине, колеблется в соответствии с гармоническим осциллятором. При этом его движение можно описать уравнением:

[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) ]

где:

• ( A ) — амплитуда колебаний (в нашем случае 1 см или 0,01 м),
• ( \omega ) — угловая частота,
• ( \phi ) — начальная фаза.

Угловую частоту ( \omega ) можно найти по формуле:

[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} ]

где:

• ( k ) — жесткость пружины (40 Н/м),
• ( m ) — масса груза (400 г или 0,4 кг).

Подставим значения:

[ \omega = \sqrt{\frac{40 \, \text{Н/м}}{0,4 \, \text{кг}}} = \sqrt{100} = 10 \, \text{рад/с} ]

Теперь, чтобы найти скорость груза в положении равновесия, воспользуемся тем, что скорость в положении равновесия максимальна и равна:

[ v_{\max} = A \cdot \omega ]

Подставляем известные значения:

[ v_{\max} = 0,01 \, \text{м} \cdot 10 \, \text{рад/с} = 0,1 \, \text{м/с} ]

Таким образом, скорость груза в положении равновесия при свободных колебаниях составляет 0,1 м/с.