Груз массой 500 г, подвешенный к пружине, совершает свободные колебания с амплитудой 10 см. Жёсткость...

Для решения задачи сначала найдем потенциальную и кинетическую энергию системы. Полная механическая энергия системы равна сумме потенциальной и кинетической энергии:

1. Потенциальная энергия пружины: Потенциальная энергия пружины равна ( E{пот} = \frac{1}{2}kx^2 ), где k - жесткость пружины, x - смещение от положения равновесия. Подставляем значения: ( E{пот} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0.1)^2 = 0.5 Дж ).

2. Кинетическая энергия груза: Кинетическая энергия груза равна ( E{кин} = \frac{1}{2}mv^2 ), где m - масса груза, v - скорость груза. Так как максимальная скорость достигается в точке равновесия (когда потенциальная энергия равна нулю), то вся механическая энергия переходит в кинетическую: ( E{кин} = E_{пот} = 0.5 Дж ). Подставляем массу груза: ( 0.5 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot v^2 ), откуда ( v = \sqrt{2 \cdot 0.5 / 0.5} = \sqrt{2} \approx 1.41 м/с ).

Таким образом, полная механическая энергия системы равна 0.5 Дж, а наибольшая скорость движения груза составит примерно 1.41 м/с.

Давайте начнем с определения полной механической энергии системы. Полная механическая энергия ( E ) в системе, состоящей из пружины и груза, совершающего гармонические колебания, равна потенциальной энергии пружины в крайнем положении (максимальное растяжение или сжатие пружины). Эта энергия может быть выражена через жёсткость пружины ( k ) и амплитуду колебаний ( A ).

Формула потенциальной энергии пружины: [ E = \frac{1}{2} k A^2 ]

Здесь:

• ( k = 100 \, \text{Н/м} ) — жёсткость пружины,
• ( A = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м} ) — амплитуда колебаний.

Подставляем значения в формулу: [ E = \frac{1}{2} \times 100 \, \text{Н/м} \times (0.1 \, \text{м})^2 ] [ E = \frac{1}{2} \times 100 \times 0.01 ] [ E = \frac{1}{2} \times 1 ] [ E = 0.5 \, \text{Дж} ]

Теперь найдем наибольшую скорость движения груза. Наибольшая скорость ( v_{\text{max}} ) достигается, когда груз проходит через положение равновесия. В этом положении вся потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию груза.

Формула для кинетической энергии: [ E{\text{к}} = \frac{1}{2} m v{\text{max}}^2 ]

Где:

• ( E_{\text{к}} ) — кинетическая энергия, равная полной механической энергии ( E ),
• ( m = 500 \, \text{г} = 0.5 \, \text{кг} ) — масса груза,
• ( v_{\text{max}} ) — наибольшая скорость.

Приравняем полную механическую энергию и кинетическую энергию: [ 0.5 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \times 0.5 \, \text{кг} \times v_{\text{max}}^2 ]

Упростим уравнение: [ 0.5 = 0.25 \times v{\text{max}}^2 ] [ v{\text{max}}^2 = \frac{0.5}{0.25} ] [ v{\text{max}}^2 = 2 ] [ v{\text{max}} = \sqrt{2} \approx 1.41 \, \text{м/с} ]

Итак, полная механическая энергия системы составляет ( 0.5 \, \text{Дж} ), а наибольшая скорость движения груза равна приблизительно ( 1.41 \, \text{м/с} ).