Из пушки произведен выстрел под углом 45° к горизонту. Начальная скорость снаряда 400 м/с. а) Через какое время снаряд будет находиться в наивысшей точке полета? (Сопротивлением воздуха пренебречь.) б) На какую максимальную высоту поднимется снаряд при полете? Чему равна дальность полета снаряда? в) Как изменится дальность полета снаряда, если выстрел произвести под углом 60° к горизонту?
а) Для определения времени, через которое снаряд будет находиться в наивысшей точке полета, можно воспользоваться уравнением движения по вертикали: v_y = v_0 sin(α) - g t, где v_y - вертикальная составляющая скорости, v_0 - начальная скорость, α - угол выстрела, g - ускорение свободного падения (принимаем равным 9.8 м/с^2), t - время.
Поскольку в точке наивысшего полета вертикальная составляющая скорости равна 0, то у нас получится уравнение: 0 = 400 sin(45°) - 9.8 t, 0 = 282.84 - 9.8 t, 9.8 t = 282.84, t = 28.9 секунд.
б) Максимальная высота подъема снаряда равна вертикальной координате в наивысшей точке полета. Для этого можно использовать уравнение движения по вертикали: y = v_0 sin(α) t - (1/2) g t^2, y = 400 sin(45°) 28.9 - (1/2) 9.8 (28.9)^2, y ≈ 3640 м.
Для определения дальности полета снаряда можно использовать уравнение движения по горизонтали: x = v_0 cos(α) t, x = 400 cos(45°) 28.9, x ≈ 10188 м.
в) Если выстрел произвести под углом 60° к горизонту, то изменится как максимальная высота подъема снаряда, так и дальность полета. Для определения этих параметров можно провести аналогичные вычисления, учитывая новый угол выстрела.
Для решения задачи воспользуемся законами кинематики и рассмотрим движение снаряда, пренебрегая сопротивлением воздуха.
При выстреле под углом 45° к горизонту начальная скорость ( v0 ) разлагается на горизонтальную и вертикальную составляющие: [ v{0x} = v0 \cos(45^\circ) ] [ v{0y} = v_0 \sin(45^\circ) ]
Так как угол 45°, то (\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}): [ v_{0x} = v0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 400 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 400 \cdot 0.707 \approx 282.8 \, \text{м/с} ] [ v{0y} = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 400 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 400 \cdot 0.707 \approx 282.8 \, \text{м/с} ]
Время подъема до наивысшей точки можно найти, зная, что в наивысшей точке вертикальная скорость ( v_y ) станет равной нулю из-за действия силы тяжести ( g ): [ vy = v{0y} - g t ]
На высоте ( v_y = 0 ): [ 0 = 282.8 - 9.8 t ] [ t = \frac{282.8}{9.8} \approx 28.86 \, \text{с} ]
Максимальная высота ( H ) достигается, когда вертикальная скорость становится нулевой: [ H = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 ] Подставим значение времени подъема ( t = 28.86 \, \text{с} ):
[ H = 282.8 \cdot 28.86 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (28.86)^2 ] [ H = 8160.568 - 4080.284 \approx 4080.284 \, \text{м} ]
Для определения дальности полета нужно учитывать, что общее время полета вдвое больше времени подъема (так как время подъема равно времени спуска): [ T_{\text{общ}} = 2 \cdot t = 2 \cdot 28.86 = 57.72 \, \text{с} ]
Горизонтальная составляющая скорости постоянна: [ D = v{0x} \cdot T{\text{общ}} ] [ D = 282.8 \cdot 57.72 \approx 16327.816 \, \text{м} ]
При угле 60° начальная скорость также разлагается на составляющие: [ v_{0x} = v0 \cos(60^\circ) = 400 \cdot 0.5 = 200 \, \text{м/с} ] [ v{0y} = v_0 \sin(60^\circ) = 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 346.4 \, \text{м/с} ]
Время подъема до наивысшей точки: [ t = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{346.4}{9.8} \approx 35.34 \, \text{с} ]
Общее время полета: [ T_{\text{общ}} = 2 \cdot t = 2 \cdot 35.34 \approx 70.68 \, \text{с} ]
Горизонтальная составляющая скорости постоянна: [ D = v{0x} \cdot T{\text{общ}} ] [ D = 200 \cdot 70.68 \approx 14136 \, \text{м} ]
Таким образом, при изменении угла выстрела на 60° дальность полета уменьшится до 14136 м по сравнению с 16327.816 м при угле 45°.
