К пружине весов подвешена чашка с гирями. Период вертикальных колебаний чашки 1 с. После того, как на чашку положили добавочный груз, период стал 1,2 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления добавочного груза, если первоначальное удлинение было 4 см.
Удлинилась на 0,4 см.
Чтобы решить задачу, используем формулу периода колебаний математического маятника, которая применима и для пружинных колебаний:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} ]
где:
Сначала найдем жесткость пружины ( k ) с первоначальной массой, для которой период колебаний равен 1 секунде. Пусть первоначальная масса груза ( m_1 ).
Подставим известные значения в формулу для периода:
[ 1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} ]
Отсюда:
[ \frac{1}{2\pi} = \sqrt{\frac{m_1}{k}} ]
Возведем обе стороны в квадрат:
[ \frac{1}{4\pi^2} = \frac{m_1}{k} ]
[ m_1 = \frac{k}{4\pi^2} ]
После добавления груза период стал равен 1,2 секунды. Пусть новая масса груза ( m_2 = m_1 + \Delta m ). Тогда:
[ 1.2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} ]
[ \frac{1.2}{2\pi} = \sqrt{\frac{m_2}{k}} ]
Возведем обе стороны в квадрат:
[ \frac{1.44}{4\pi^2} = \frac{m_2}{k} ]
[ m_2 = \frac{1.44k}{4\pi^2} ]
Теперь найдем добавочную массу ( \Delta m ):
[ \Delta m = m_2 - m_1 = \frac{1.44k}{4\pi^2} - \frac{k}{4\pi^2} ]
[ \Delta m = \frac{0.44k}{4\pi^2} ]
Теперь используем закон Гука для определения удлинения пружины:
[ F = kx ]
где ( x ) — удлинение пружины. Сила, действующая на пружину из-за добавочного груза, равна ( \Delta m \cdot g ), где ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.
Подставим:
[ \Delta m \cdot g = k \cdot \Delta x ]
[ \frac{0.44k}{4\pi^2} \cdot g = k \cdot \Delta x ]
Сократим на ( k ):
[ \Delta x = \frac{0.44g}{4\pi^2} ]
Подставим значение ( g ):
[ \Delta x \approx \frac{0.44 \times 9.81}{4\pi^2} ]
[ \Delta x \approx \frac{4.3164}{39.4784} ]
[ \Delta x \approx 0.1093 \, \text{м} ]
Переведем в сантиметры:
[ \Delta x \approx 10.93 \, \text{см} ]
Таким образом, пружина удлинилась примерно на 10.93 см после добавления груза.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой периода колебаний пружинного маятника:
T = 2π√(m/k),
где T - период колебаний, m - масса груза, к которому подвешена пружина, k - коэффициент жесткости пружины.
Исходя из данной формулы, мы можем составить два уравнения:
1) Для первоначального состояния: 1 = 2π√(m/k), 2) После добавления груза: 1.2 = 2π√((m + Δm)/(k + Δk)),
где Δm - добавочный груз, Δk - изменение коэффициента жесткости пружины.
Из данных уравнений мы можем выразить Δm и Δk и рассчитать удлинение пружины:
Δm = m + Δm - m = Δm, Δk = k + Δk - k = Δk,
Δm/Δk = ((1/T2)^2 - (1/T1)^2)/((2π)^2),
где T1 = 1 с, T2 = 1,2 с.
После нахождения отношения Δm/Δk, мы можем подставить это значение в формулу для определения удлинения пружины:
Δl = Δm/Δk,
где первоначальное удлинение 4 см.
Таким образом, рассчитывая все значения и подставляя их в формулу, мы сможем определить, на сколько удлинилась пружина от прибавления добавочного груза.
