Как относятся длины математических маятников если за одно время один делает 10 а другой 30 колебаний?

Математический маятник — это идеализированная модель физического маятника, где вся масса сосредоточена в одной точке на конце невесомого и нерастяжимого стержня или нити. Период колебаний математического маятника (время одного полного колебания) определяется формулой:

[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} ]

где:

• ( T ) — период колебаний;
• ( l ) — длина маятника;
• ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 ) на поверхности Земли).

Допустим, у нас есть два маятника, первый из которых делает 10 колебаний за некоторое время ( t ), а второй — 30 колебаний за то же время ( t ). Это значит, что частота колебаний первого маятника ( f_1 ) и второго маятника ( f_2 ) связаны с количеством колебаний за время ( t ):

[ f_1 = \frac{10}{t} ] [ f_2 = \frac{30}{t} ]

Частота колебаний ( f ) и период ( T ) связаны обратной пропорцией:

[ f = \frac{1}{T} ]

Таким образом, периоды первого и второго маятников будут:

[ T_1 = \frac{t}{10} ] [ T_2 = \frac{t}{30} ]

Подставляя эти значения в формулу для периода математического маятника:

[ \frac{t}{10} = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}} ] [ \frac{t}{30} = 2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}} ]

Разделим первую формулу на вторую:

[ \frac{\frac{t}{10}}{\frac{t}{30}} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}} ]

Упрощаем:

[ \frac{3}{1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} ]

Возводим обе стороны в квадрат:

[ 9 = \frac{l_1}{l_2} ]

Таким образом, отношение длин маятников ( l_1 ) и ( l_2 ) составляет:

[ l_1 = 9 l_2 ]

Следовательно, длина первого маятника в 9 раз больше длины второго маятника.

Длины математических маятников обратно пропорциональны квадратам периодов их колебаний. Таким образом, если один маятник делает 10 колебаний за определенное время, а другой делает 30 колебаний за то же самое время, то отношение их длин будет равно квадратному корню из отношения количества колебаний, то есть √(30/10) = √3 = 1,73. То есть длина второго маятника будет примерно в 1,73 раза больше, чем длина первого маятника.