Какую скорость относительно воды должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной...

Чтобы катер двигался перпендикулярно к берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега при скорости течения реки 2 м/с, нужно учесть векторы скоростей. Давайте разберемся с этим.

1. Определение векторов скоростей:

   • Скорость течения реки, (v_{\text{реки}}), направлена вдоль берега.
   • Скорость катера относительно воды, (v_{\text{катера/вода}}), которая должна быть направлена под углом к течению, чтобы результатирующая скорость катера относительно берега была перпендикулярна берегу.
   • Скорость катера относительно берега, (v_{\text{катера/берег}}), направлена перпендикулярно к берегу.

2. Векторная сумма скоростей:

   • Скорость катера относительно берега (v_{\text{катера/берег}} = 3,5 \, \text{м/с}) направлена перпендикулярно берегу (пусть это будет ось (y)).
   • Скорость течения реки (v_{\text{реки}} = 2 \, \text{м/с}) направлена вдоль берега (пусть это будет ось (x)).

3. Расчет необходимой скорости катера относительно воды:

   • Если катер движется с некоторой скоростью (v_{\text{катера/вода}}) относительно воды под углом (\theta) к перпендикуляру к берегу, то компоненты этой скорости можно разложить на:

     • (v{\text{катера/вода},x} = v{\text{катера/вода}} \cdot \sin(\theta)) вдоль течения реки.
     • (v{\text{катера/вода},y} = v{\text{катера/вода}} \cdot \cos(\theta)) перпендикулярно берегу.

   • Для того чтобы катер двигался перпендикулярно к берегу с требуемой скоростью (v{\text{катера/берег}} = 3,5 \, \text{м/с}), его скорость относительно воды вдоль оси (y) должна быть равна этой скорости: [ v{\text{катера/вода}} \cdot \cos(\theta) = 3,5 \, \text{м/с} ]

   • При этом компонента скорости катера относительно воды вдоль оси (x) должна компенсировать скорость течения реки: [ v_{\text{катера/вода}} \cdot \sin(\theta) = 2 \, \text{м/с} ]

4. Поиск скорости (v_{\text{катера/вода}}):

   • Разделим уравнение вдоль оси (x) на уравнение вдоль оси (y): [ \frac{v{\text{катера/вода}} \cdot \sin(\theta)}{v{\text{катера/вода}} \cdot \cos(\theta)} = \frac{2}{3,5} ] [ \tan(\theta) = \frac{2}{3,5} ] [ \tan(\theta) = \frac{4}{7} ]

   • Найдем (\theta): [ \theta = \arctan\left(\frac{4}{7}\right) ]

   • Теперь найдем (v{\text{катера/вода}}) из уравнений: [ v{\text{катера/вода}} \cdot \cos(\theta) = 3,5 \, \text{м/с} ] [ v_{\text{катера/вода}} = \frac{3,5 \, \text{м/с}}{\cos(\theta)} ]

   • Используя (\tan(\theta)), найдем (\cos(\theta)): [ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{4}{7}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{16}{49}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{65}{49}}} = \frac{7}{\sqrt{65}} ]

   • Теперь подставим (\cos(\theta)) в уравнение для (v{\text{катера/вода}}): [ v{\text{katера/вода}} = \frac{3,5 \, \text{м/с}}{\frac{7}{\sqrt{65}}} = 3,5 \cdot \frac{\sqrt{65}}{7} = \frac{3,5 \sqrt{65}}{7} = 0,5 \sqrt{65} \approx 4,03 \, \text{м/с} ]

Таким образом, чтобы катер двигался перпендикулярно к берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега при скорости течения реки 2 м/с, мотор должен сообщить катеру скорость относительно воды примерно 4,03 м/с.

Для того чтобы катер двигался перпендикулярно к берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега при скорости течения реки 2 м/с, необходимо учесть вектора скоростей воды и катера.

Пусть ( v{\text{воды}} = 2 \, \text{м/с} ) - скорость течения реки и ( v{\text{катера}} ) - скорость катера относительно воды.

Тогда скорость катера относительно берега будет равна:

( v{\text{берега}} = v{\text{воды}} + v{\text{катера}} = 2 + v{\text{катера}} ) м/с.

С учетом перпендикулярного движения катера к берегу, можем записать:

( v{\text{катера}}^2 + 3,5^2 = (2 + v{\text{катера}})^2 ).

Решив это квадратное уравнение, найдем скорость катера относительно воды:

( v_{\text{катера}} = 1,5 \, \text{м/с} ).

Таким образом, мотор катера должен сообщить скорость 1,5 м/с относительно воды, чтобы катер двигался перпендикулярно к берегу со скоростью 3,5 м/с относительно берега.