Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 45 к горизонту. Определите радиус кривизны траектории в...

Чтобы определить радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой для камня, брошенного со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту, нужно рассмотреть движение в двух измерениях: по горизонтали и по вертикали.

Разложение скорости на компоненты

Первоначальная скорость камня ( v_0 ) равна 10 м/с. Так как угол броска составляет 45°, компоненты скорости можно определить следующим образом:

[ v_{0x} = v0 \cos(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \text{м/с} ] [ v{0y} = v_0 \sin(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \text{м/с} ]

Максимальная высота

В точке максимальной высоты вертикальная составляющая скорости равна нулю (( v_y = 0 )). Однако горизонтальная составляющая скорости остаётся неизменной, потому что в отсутствие сопротивления воздуха на нее не действует сила:

[ v_x = 5\sqrt{2} \, \text{м/с} ]

Время подъема до максимальной высоты

Для определения времени подъема до максимальной высоты используем вертикальную составляющую движения. Зная, что ( v_y = 0 ) в максимальной точке, используем формулу:

[ vy = v{0y} - g t ]

Поставим ( v_y = 0 ):

[ 0 = 5\sqrt{2} - 9.8 t ] [ t = \frac{5\sqrt{2}}{9.8} \approx 0.72 \, \text{с} ]

Радиус кривизны траектории

Радиус кривизны траектории в любой точке можно найти, используя формулу:

[ R = \frac{v^2}{a_n} ]

где ( v ) — скорость в рассматриваемой точке, а ( a_n ) — нормальное (центростремительное) ускорение.

В точке максимальной высоты скорость равна горизонтальной составляющей скорости:

[ v = v_x = 5\sqrt{2} \, \text{м/с} ]

Нормальное ускорение в этой точке определяется действием силы тяжести:

[ a_n = g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ]

Теперь можно подставить значения в формулу для радиуса кривизны:

[ R = \frac{(5\sqrt{2})^2}{9.8} ] [ R = \frac{50}{9.8} ] [ R \approx 5.1 \, \text{м} ]

Ответ

Радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой для камня, брошенного со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту, составляет приблизительно 5.1 метра.

Для определения радиуса кривизны траектории в точке с максимальной высотой нам необходимо рассмотреть движение камня как движение по параболе.

Сначала найдем время полета камня до достижения максимальной высоты. Для этого воспользуемся уравнением движения по вертикали: y = V0yt - (gt^2)/2, где y - высота, V0y - начальная вертикальная скорость (V0y = V0sin(угол)), g - ускорение свободного падения (g = 9.8 м/с^2), t - время полета.

На максимальной высоте вертикальная скорость равна нулю, поэтому V0y = V0*sin(угол) = 0, что дает нам угол, под которым камень брошен - 0 градусов (вертикально вверх).

Теперь найдем время полета до максимальной высоты: V0y = V0sin(угол) = 10sin(45) = 7.07 м/с, 7.07t - 4.9t^2 = 0, t = 7.07/4.9 = 1.44 с.

Теперь найдем максимальную высоту, на которую поднимется камень: y_max = V0yt - (gt^2)/2 = 7.071.44 - 4.9*(1.44)^2 = 5.10 м.

Радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой можно найти по формуле: R = (1 + y''^2)^(3/2)/|y''|, где y'' - вторая производная по времени от уравнения параболы. В данном случае, уравнение параболы y = -4.9t^2 + 7.07t.

Найдем вторую производную: y'' = -9.8 м/с^2, R = (1 + (-9.8)^2)^(3/2)/|-9.8| = 5.04 м.

Таким образом, радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой составляет 5.04 метра.