Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 15м/с. Какова максимальная высота подъема камня, если во время движения его максимальная скорость была в три раза больше минимальной?
1) 5м 2) 7,5 3) 10 4) 12,5 м
Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 15м/с. Какова максимальная высота подъема камня, если во время движения его максимальная скорость была в три раза больше минимальной?
1) 5м 2) 7,5 3) 10 4) 12,5 м
Чтобы определить максимальную высоту подъема камня, необходимо рассмотреть его движение как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В этом случае движение можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие.
Дано:
Максимальная скорость достигается в момент броска, когда камень только начинает двигаться, а минимальная скорость — в наивысшей точке траектории, где вертикальная составляющая скорости равна нулю.
Для начала, определим минимальную скорость. Поскольку максимальная скорость в три раза больше минимальной: [ v{max} = 3v{min} ]
В момент падения скорость ( v ) имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не изменяется (при отсутствии сопротивления воздуха), она равна горизонтальной составляющей при броске.
Обозначим:
Пусть в наивысшей точке траектории горизонтальная составляющая скорости равна ( v{min} ), тогда: [ v{max} = 3v_{min} ]
В момент падения: [ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} ] где ( vx = v{min} ) и ( v_y ) — вертикальная составляющая скорости при падении.
Из условия: [ 15 = \sqrt{v_{min}^2 + v_y^2} ]
Поскольку ( v{max} = 3v{min} ), а ( v{max} ) — это начальная скорость, можно записать: [ \sqrt{(3v{min})^2} = 3v_{min} ]
Теперь выясним вертикальную составляющую скорости при падении: [ 15 = \sqrt{v_{min}^2 + v_y^2} ]
Так как ( vx = v{min} ), то: [ 15 = \sqrt{v_{min}^2 + v_y^2} ] [ vy^2 = 15^2 - v{min}^2 ] [ vy^2 = 225 - v{min}^2 ]
Максимальная высота подъема камня определяется по формуле для подъема тела, брошенного вертикально вверх: [ h = \frac{v{y0}^2}{2g} ] где ( v{y0} ) — начальная вертикальная составляющая скорости, а ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²).
Вертикальная составляющая начальной скорости ( v{y0} ) может быть найдена из общей максимальной скорости: [ v{max} = \sqrt{v{x0}^2 + v{y0}^2} ] где ( v{x0} = v{min} ).
Так как ( v{max} = 3v{min} ): [ (3v{min})^2 = v{min}^2 + v{y0}^2 ] [ 9v{min}^2 = v{min}^2 + v{y0}^2 ] [ v{y0}^2 = 8v{min}^2 ]
Следовательно, максимальная высота: [ h = \frac{v{y0}^2}{2g} = \frac{8v{min}^2}{2g} = \frac{4v_{min}^2}{g} ]
Теперь найдем ( v{min} ). Из уравнения: [ 15 = \sqrt{v{min}^2 + (3v{min})^2} ] [ 15 = \sqrt{v{min}^2 + 9v{min}^2} ] [ 15 = \sqrt{10v{min}^2} ] [ 15 = v{min}\sqrt{10} ] [ v{min} = \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{15\sqrt{10}}{10} = 1.5\sqrt{10} ]
Теперь подставим это значение в формулу для высоты: [ h = \frac{4v_{min}^2}{g} = \frac{4(1.5\sqrt{10})^2}{9.81} = \frac{4 \cdot 2.25 \cdot 10}{9.81} = \frac{90}{9.81} \approx 9.17 \, \text{м} ]
Однако, среди предложенных вариантов ответа 9.17 м нет. Ближайший вариант — это 10 м.
Ответ: 3) 10 м
Для решения данной задачи можно использовать законы физики, связанные с движением тела под углом к горизонту. Первым шагом следует вычислить минимальную скорость камня при его движении. Для этого можно воспользоваться формулой для проекции скорости на вертикальную ось:
V^2 = V0^2 - 2gh
Где V - скорость камня при упадке на землю (15 м/с), V0 - начальная скорость камня, g - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с^2), h - максимальная высота подъема камня.
Так как максимальная скорость камня в три раза больше минимальной, то можно записать соотношение:
V_max = 3*V_min
V_max = V0 V_min = V0 - 15
Подставив данные в формулу для проекции скорости на вертикальную ось, получаем:
(3V_min)^2 = V0^2 - 2gh 9(V0 - 15)^2 = V0^2 - 29.8h
Решив данное уравнение, найдем значение высоты подъема камня:
9(V0^2 - 30V0 + 225) = V0^2 - 19.6h 9V0^2 - 270V0 + 2025 = V0^2 - 19.6h 8V0^2 - 270V0 + 2025 = -19.6h 8V0^2 - 270V0 + 2025 = -19.6h 8V0^2 - 270V0 + 2025 = -19.6h h = (8V0^2 - 270*V0 + 2025)/19.6
Подставив V0 = 45 м/с (так как V_max = 3*V_min), получаем:
h = (8(45)^2 - 27045 + 2025)/19.6 h = (32400 - 12150 + 2025)/19.6 h = 20525/19.6 h ≈ 1047,96 м
Ответ: максимальная высота подъема камня составляет примерно 1047,96 м.
