Камень массой 20 г, выпущенный вертикально вверх из рогатки, резиновый жгут которой был растянут на 20 см, поднялся на высоту 40 м. Найти жесткость жгута (сопротивлением воздуха пренебречь)
Камень массой 20 г, выпущенный вертикально вверх из рогатки, резиновый жгут которой был растянут на 20 см, поднялся на высоту 40 м. Найти жесткость жгута (сопротивлением воздуха пренебречь)
Для решения задачи можно использовать законы сохранения энергии и формулы механики.
Первый шаг – определить начальную кинетическую энергию камня, которая равна максимальной потенциальной энергии упругости резинового жгута рогатки в момент выстрела.
Поскольку камень поднялся на высоту 40 м, максимальная потенциальная энергия камня в верхней точке траектории (где скорость равна нулю) равна его начальной кинетической энергии. Потенциальная энергия камня на высоте ( h ) вычисляется по формуле:
[ E_p = mgh ]
где ( m ) – масса камня (20 г = 0.02 кг), ( g ) – ускорение свободного падения (примерно 9.8 м/с²), ( h ) – высота подъема (40 м). Подставляя числа, получаем:
[ E_p = 0.02 \times 9.8 \times 40 = 7.84 \text{ Дж} ]
Второй шаг – определить жесткость жгута рогатки. Предположим, что вся энергия, накопленная в растянутом жгуте, полностью преобразуется в кинетическую энергию камня. Энергия упругой деформации пружины (или в данном случае жгута) описывается формулой:
[ E_s = \frac{1}{2} k x^2 ]
где ( k ) – жесткость жгута, ( x ) – величина растяжения (20 см = 0.2 м). Мы знаем, что ( E_s = E_p ). Таким образом:
[ \frac{1}{2} k (0.2)^2 = 7.84 ]
[ \frac{1}{2} k \times 0.04 = 7.84 ]
[ k \times 0.02 = 7.84 ]
[ k = \frac{7.84}{0.02} = 392 \text{ Н/м} ]
Таким образом, жесткость жгута рогатки равна 392 Н/м.
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться законами сохранения энергии. При движении камня вверх у нас есть кинетическая энергия, потенциальная энергия и работа силы натяжения резинового жгута.
Кинетическая энергия камня в самом начале движения равна нулю, так как он начинает движение из состояния покоя. Потенциальная энергия камня в точке максимальной высоты будет равна его массе умноженной на ускорение свободного падения (g) и высоту подъема (h): ПЭ = mgh
Работа силы натяжения жгута равна изменению кинетической энергии камня: Работа = ΔК = ПЭ - 0
Так как сила натяжения жгута обратно пропорциональна его удлинению, то ее можно выразить как kx, где k - жесткость жгута, x - удлинение жгута. Работа силы натяжения также равна интегралу от kx по удлинению от 0 до 20 см: ПЭ = ∫(kx)dx = (kx^2)/2
Таким образом, уравнение силы натяжения будет выглядеть следующим образом: mgh = (kx^2)/2
Подставляя известные значения (m = 0.02 кг, g = 9.8 м/с^2, h = 40 м, x = 0.2 м), мы можем найти жесткость жгута: 0.02 9.8 40 = (0.5k 0.2^2) 7.84 = 0.02k 0.04 7.84 = 0.0008k k = 7.84 / 0.0008 k ≈ 9800 Н/м
Таким образом, жесткость жгута равна примерно 9800 Н/м.
