Кос­ми­че­ская ра­ке­та стар­ту­ет с по­верх­но­сти Луны и дви­жет­ся вер­ти­каль­но вверх. На каком...

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать закон всемирного тяготения Ньютона. Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется формулой:

[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} ]

где:

• ( F ) — сила гравитационного притяжения,
• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( m_1 ) и ( m_2 ) — массы взаимодействующих тел (в данном случае это масса Луны и масса ракеты),
• ( r ) — расстояние между центрами масс этих тел.

На поверхности Луны расстояние от центра Луны до ракеты равно радиусу Луны ( R ). Сила притяжения в этом случае будет:

[ F_0 = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} ]

где:

• ( M ) — масса Луны,
• ( m ) — масса ракеты.

Нам нужно найти такое расстояние ( r ), при котором сила притяжения станет в 4 раза меньше, чем ( F_0 ). То есть:

[ \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} ]

Сокращая обе стороны уравнения на общие множители, получим:

[ \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4R^2} ]

Отсюда видно, что:

[ r^2 = 4R^2 ]

Берём квадратный корень из обеих сторон:

[ r = 2R ]

Таким образом, расстояние от поверхности Луны, на котором сила гравитационного притяжения уменьшается в 4 раза, составляет ( 2R - R = R ).

Итак, ракета должна подняться на высоту, равную одному радиусу Луны, чтобы сила притяжения уменьшилась в 4 раза.

Для решения этой задачи нам нужно использовать закон всемирного тяготения Ньютона. Согласно этому закону, сила гравитационного притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Пусть сила гравитационного притяжения на лунной поверхности равна F. Если эта сила уменьшится в 4 раза на расстоянии x от поверхности Луны, то сила гравитационного притяжения на этом расстоянии будет F/4.

Используем формулу для силы гравитационного притяжения: F = G (m1 m2) / r^2, где G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между телами.

Так как масса ракеты не учитывается, то можно считать, что константа G и масса Луны не меняются. Пусть r1 - расстояние от центра Луны до ее поверхности, тогда r2 = r1 + x.

Теперь составим уравнение для отношения сил гравитационного притяжения: F/4 = G m M / (r1 + x)^2, где m - масса ракеты, M - масса Луны.

Так как r1 = R, где R - радиус Луны, то уравнение примет вид: F/4 = G m M / (R + x)^2.

Теперь можем выразить x: (R + x)^2 = 4 G m M / F, R + x = sqrt(4 G m M / F), x = sqrt(4 G m * M / F) - R.

Таким образом, необходимое расстояние x от поверхности Луны, на котором сила гравитационного притяжения уменьшится в 4 раза, будет равно sqrt(4 G m * M / F) - R.