Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг*м2, вращается с частотой n = 240 об/мин. Через t = 1 мин после начала действия сил торможения он остановился. Определите: 1) момент M сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.
Для решения этой задачи мы сначала переведем данные из условия в систему СИ и найдем необходимые параметры.
Частота вращения маховика n = 240 об/мин. Переведем это в радианы в секунду. Так как 1 минута = 60 секунд и 1 оборот = 2π радиан: [ \omega = 240 \frac{\text{об}}{\text{мин}} \times \frac{2\pi \text{ рад}}{1 \text{ об}} \times \frac{1 \text{ мин}}{60 \text{ с}} = 8\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}} \approx 25.13 \frac{\text{рад}}{\text{с}} ] Это начальная угловая скорость маховика.
Время торможения t = 1 мин = 60 с.
Момент инерции J = 150 кг*м^2.
Используем уравнение для равнозамедленного вращательного движения: [ \omega = \omega_0 + \alpha t ] где (\omega_0) – начальная угловая скорость, (\omega) – конечная угловая скорость (0 рад/с, так как маховик остановился), (\alpha) – угловое ускорение. Так как маховик останавливается, угловое ускорение будет отрицательным. Подставляя значения и решая для (\alpha): [ 0 = 25.13 - \alpha \times 60 ] [ \alpha = -\frac{25.13}{60} \approx -0.4189 \frac{\text{рад}}{\text{с}^2} ]
Теперь найдем момент M сил торможения. Зная угловое ускорение, используем формулу: [ M = J\alpha = 150 \times -0.4189 \approx -62.84 \text{ Нм} ] Знак минус указывает на направление момента против вращения.
Далее, найдем число оборотов N от начала торможения до полной остановки. Используем формулу для угла поворота в равнозамедленном движении: [ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 ] [ \theta = 25.13 \times 60 + \frac{1}{2} \times -0.4189 \times 60^2 ] [ \theta = 1507.8 - 755.4 = 752.4 \text{ рад} ] Переведем радианы в обороты: [ N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{752.4}{2\pi} \approx 119.7 \text{ оборотов} ]
Таким образом, 1) Момент сил торможения M ≈ -62.84 Нм. 2) Число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки составляет примерно 120 оборотов.
1) Для определения момента силы торможения воспользуемся вторым законом Ньютона для вращательного движения: ΣM = J * α где ΣM - суммарный момент сил, J - момент инерции, α - угловое ускорение.
Так как маховик тормозится, то силы торможения будут создавать момент, направленный противоположно к направлению вращения маховика. После остановки маховика угловая скорость равна нулю, следовательно, угловое ускорение α = n / t = 240 об/мин / 60 с = 4 рад/с^2.
Тогда момент сил торможения будет: ΣM = J α = 150 кгм^2 4 рад/с^2 = 600 Нм.
2) Для определения числа оборотов маховика от начала торможения до полной остановки воспользуемся законом сохранения энергии: ΔK = W где ΔK - изменение кинетической энергии, W - работа сил торможения.
Известно, что кинетическая энергия вращения маховика равна: K = (J * ω^2) / 2 где ω - угловая скорость.
При полной остановке маховика его кинетическая энергия равна нулю, следовательно, работа сил торможения будет равна начальной кинетической энергии: W = (J ω^2) / 2 ω = 2πn / 60 = 2π 240 / 60 = 8π рад/с
Тогда: W = (150 (8π)^2) / 2 = 150 64π^2 = 30720π^2 Дж
Так как работа сил торможения равна изменению кинетической энергии, то: ΔK = 30720π^2 Дж
Так как кинетическая энергия вращения маховика связана с его угловой скоростью, то число оборотов можно определить как: n = ΔK / (J (2πn / 60)^2) = 30720π^2 / (150 (2π * 240 / 60)^2) ≈ 37.3 оборота.
Итак, момент сил торможения составляет 600 Н*м, а число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки равно примерно 37.3 оборота.
