Мальчик везёт за веревку санки массой 5 кг с постоянной скоростью 0,2 м/с, поднимаясь в гору, наклон к горизонту которой α=30 градусов. Коэффициент трения полозьев о поверхность горы μ=0,1. Веревка образует с направлением перемещения санок угол β=30 градусов. Чему равна мощность, развиваемая мальчиком при подъеме саней?
Для расчета мощности, развиваемой мальчиком при подъеме саней, необходимо учитывать несколько сил, действующих на санки: силу тяжести, силу трения и компоненту силы, приложенной мальчиком, которая направлена вдоль движения санок.
Сила тяжести:
Сила тяжести, действующая на санки, направлена вертикально вниз и равна ( F_g = m \cdot g = 5 \, \text{кг} \cdot 9{,}8 \, \text{м/с}^2 = 49 \, \text{Н} ).
Компонента силы тяжести, действующая вдоль наклонной плоскости, равна: [ F_{\text{gx}} = F_g \cdot \sin(\alpha) = 49 \, \text{Н} \cdot \sin(30^\circ) = 49 \, \text{Н} \cdot 0{,}5 = 24{,}5 \, \text{Н} ]
Сила нормальной реакции:
Компонента силы тяжести, перпендикулярная наклонной плоскости, равна: [ F_{\text{gy}} = F_g \cdot \cos(\alpha) = 49 \, \text{Н} \cdot \cos(30^\circ) = 49 \, \text{Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 42{,}44 \, \text{Н} ]
Сила трения:
Сила трения определяется как: [ F{\text{тр}} = \mu \cdot F{\text{gy}} = 0{,}1 \cdot 42{,}44 \, \text{Н} \approx 4{,}244 \, \text{Н} ]
Сила, приложенная мальчиком:
Пусть сила, приложенная мальчиком, равна ( F ). Ее компонент вдоль наклонной плоскости равен ( F \cdot \cos(\beta) ), а перпендикулярный компонент — ( F \cdot \sin(\beta) ).
Поскольку санки движутся с постоянной скоростью, результирующая сила вдоль наклонной плоскости равна нулю. Следовательно: [ F \cdot \cos(\beta) = F{\text{gx}} + F{\text{тр}} ]
Подставляем известные значения: [ F \cdot \cos(30^\circ) = 24{,}5 \, \text{Н} + 4{,}244 \, \text{Н} \approx 28{,}744 \, \text{Н} ]
[ F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 28{,}744 \, \text{Н} ]
[ F \approx \frac{28{,}744 \, \text{Н}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 33{,}186 \, \text{Н} ]
Мощность, развиваемая мальчиком:
Мощность рассчитывается как произведение силы, приложенной вдоль направления движения, на скорость: [ P = F \cdot \cos(\beta) \cdot v ]
Подставляем значения: [ P = 28{,}744 \, \text{Н} \cdot 0{,}2 \, \text{м/с} \approx 5{,}749 \, \text{Вт} ]
Таким образом, мощность, развиваемая мальчиком при подъеме саней, составляет примерно 5,749 Вт.
Мощность, развиваемая мальчиком при подъеме саней, можно найти, умножив силу тяги на скорость движения санок. Сначала найдем силу тяги, действующую на санки.
Сначала найдем компоненты силы тяги, параллельную и перпендикулярную поверхности наклона горы.
Сила тяги, параллельная поверхности наклона: F_пар = m g sin(α) - F_тр, где m - масса санок, g - ускорение свободного падения, α - угол наклона горы, F_тр - сила трения.
Сила трения: F_тр = μ * N, где μ - коэффициент трения, N - нормальная реакция.
Нормальная реакция: N = m g cos(α).
Сила тяги, перпендикулярная поверхности наклона: F_перп = m g cos(α) + F_норм, где F_норм - сила натяжения веревки.
Сила натяжения веревки: F_норм = F_тяг * cos(β), где F_тяг - сила тяги.
Теперь найдем силу тяги (F_тяг) по формуле: F_тяг = F_пар / sin(β).
Теперь можем найти мощность, развиваемую мальчиком при подъеме саней: P = F_тяг * v, где v - скорость движения санок.
Подставляем все значения и находим мощность.
Мощность, развиваемая мальчиком при подъеме саней, равна работе, совершаемой им за единицу времени. Работа равна силе, умноженной на путь, который преодолевают санки. В данном случае сила, преодолевающая трение, равна силе тяжести, умноженной на синус угла наклона горы. Путь, который преодолевают санки, равен скорости умноженной на время. Таким образом, мощность равна (P = F \cdot v \cdot \sin(\alpha)), где (F = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) + \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)), (m = 5 кг), (g = 9,8 м/с^2), (v = 0,2 м/с), (\alpha = 30 градусов), (\mu = 0,1). Подставим значения и рассчитаем мощность.
