Мимо поста ГИБДД проезжает автомобиль со скоростью u, превышающей дозволенную. Инспектор ГИБДД на мотоцикле отправился вдогонку в тот момент,когда автомобиль поравнялся с постом ГИБДД. Считая движение мотоцикла равноускоренным, определите скорость v мотоцикла в тот момент,когда он догонит автомобиль.
Для решения этой задачи воспользуемся уравнением равноускоренного движения:
(v = u + at),
где (v) - скорость мотоцикла, (u) - скорость автомобиля, (a) - ускорение мотоцикла и (t) - время, за которое мотоцикл догоняет автомобиль.
Так как мотоцикл начинает движение в тот момент, когда автомобиль поравнялся с постом ГИБДД, то начальная скорость мотоцикла равна 0.
Из условия задачи известно, что скорость автомобиля (u) превышает дозволенную, поэтому автомобиль движется быстрее мотоцикла. Следовательно, ускорение мотоцикла (a) больше нуля.
Для того чтобы мотоцикл догнал автомобиль, необходимо, чтобы их пройденные расстояния были равны:
(ut = \frac{1}{2}at^2).
Из первого уравнения выразим время (t):
(t = \frac{v}{a}).
Подставим это значение во второе уравнение:
(uv = \frac{1}{2}av^2).
Отсюда найдем скорость мотоцикла (v):
(v = \frac{2u}{3}).
Таким образом, скорость мотоцикла в момент, когда он догонит автомобиль, равна двум третьим скорости автомобиля.
v = u - at, где a - ускорение мотоцикла.
Для решения этой задачи нам нужно учесть несколько ключевых аспектов кинематики, а именно движение с равномерной скоростью и равноускоренное движение.
Движение автомобиля:
Автомобиль движется с постоянной скоростью ( u ). Если мы обозначим время, которое прошло с момента, когда мотоцикл начал преследование, как ( t ), то расстояние, пройденное автомобилем за это время, будет:
[ S_{\text{авто}} = u \cdot t ]
Движение мотоцикла:
Мотоцикл начинает движение с нулевой начальной скоростью и движется с постоянным ускорением ( a ). Расстояние, пройденное мотоциклом за время ( t ), определяется уравнением равноускоренного движения:
[ S_{\text{мото}} = \frac{1}{2} a t^2 ]
Условие догоняния:
Мотоцикл догонит автомобиль, когда пройденные ими расстояния станут равны:
[ S{\text{авто}} = S{\text{мото}} ]
Подставим выражения для ( S{\text{авто}} ) и ( S{\text{мото}} ):
[ u \cdot t = \frac{1}{2} a t^2 ]
Упростим это уравнение, разделив обе части на ( t ) (предполагая, что ( t \neq 0 )):
[ u = \frac{1}{2} a t ]
Откуда можно выразить время ( t ):
[ t = \frac{2u}{a} ]
Определение скорости мотоцикла ( v ) в момент догоняния:
Скорость мотоцикла в любой момент времени при равноускоренном движении определяется формулой:
[ v = a \cdot t ]
Подставим найденное значение времени ( t ):
[ v = a \cdot \left(\frac{2u}{a}\right) = 2u ]
Таким образом, скорость мотоцикла в момент, когда он догонит автомобиль, будет равна ( 2u ), то есть в два раза больше скорости автомобиля.
