На дне водоема глубиной 3 м находится точечный источник света. На поверхности воды плавает круглый непрозрачный диск так, что его центр находится над источником. Определите минимальный радиус диска, при котором свет не выходит из воды. Показатель преломления воды n=1,33.
Можно подробно(Дано, решение)если не сложно, буду крайне признателен и благодарен.
Из условия задачи известно, что световой луч, попадая из воды в воздух, будет отклоняться под прямым углом (закон преломления), поэтому нам нужно найти такой радиус диска, при котором световой луч не покинет воду и будет полностью отражаться от поверхности диска обратно в воду.
Дано: глубина водоема h = 3 м, показатель преломления воды n = 1,33.
Решение: Пусть R - радиус диска, d - расстояние от источника света до поверхности воды (до центра диска).
Из геометрии треугольника видно, что d = R + h.
Также, по закону преломления света, синус угла падения равен произведению показателя преломления и синуса угла преломления: sin(угла падения) = n*sin(угла преломления).
Угол падения α = arctg(R/h), угол преломления β = arctg(R/(n*h).
Таким образом, sin(α) = R/sqrt(R^2 + h^2), sin(β) = R/(n*sqrt(R^2 + h^2)).
По условию задачи, свет не выходит из воды, если sin(β)
Дано:
Задача:
Определить минимальный радиус непрозрачного диска (R), при котором свет от точечного источника на дне водоема не выходит на поверхность воды.
Решение:
Для того чтобы свет не выходил на поверхность воды, необходимо учесть явление полного внутреннего отражения. Это явление происходит, когда угол падения света на границу раздела двух сред (в данном случае вода — воздух) превышает критический угол.
Найдем критический угол (θc): Критический угол определяется через показатель преломления воды с использованием формулы Снелла: [ \sin(\theta_c) = \frac{n_2}{n_1} ] где ( n_1 ) — показатель преломления воды, ( n_2 ) — показатель преломления воздуха (примерно равен 1).
[ \sin(\theta_c) = \frac{1}{1.33} ]
[ \theta_c = \arcsin \left( \frac{1}{1.33} \right) ]
[ \theta_c \approx \arcsin(0.7519) \approx 48.75^\circ ]
Определим радиус светового пятна на поверхности воды: Свет, исходящий от источника, будет распространяться по конусу, вершина которого находится в точечном источнике света на дне водоема, а основание — на поверхности воды. Угол между осью конуса и его образующей равен критическому углу.
В треугольнике, образованном глубиной водоема, радиусом диска и линией света, выходящего из воды под углом ( \theta_c ), радиус светового пятна можно найти следующим образом: [ \tan(\theta_c) = \frac{R}{h} ]
Отсюда: [ R = h \cdot \tan(\theta_c) ]
Подставим известные значения: [ R = 3 \, \text{м} \cdot \tan(48.75^\circ) ]
Рассчитаем тангенс: [ \tan(48.75^\circ) \approx 1.14 ]
Тогда: [ R \approx 3 \, \text{м} \cdot 1.14 \approx 3.42 \, \text{м} ]
Ответ:
Минимальный радиус непрозрачного диска, при котором свет от точечного источника на дне водоема не выходит на поверхность воды, составляет приблизительно ( 3.42 ) метра.
Дано: глубина водоема h = 3 м, показатель преломления воды n = 1,33.
Решение: Пусть r - радиус диска, d - расстояние от центра диска до источника света, x - глубина погружения диска в воду.
Так как свет не выходит из воды, то угол падения равен углу преломления: sin(угол падения) = n * sin(угол преломления).
Из геометрических соображений можно найти, что sin(угол падения) = h / (d^2 + r^2)^(1/2), sin(угол преломления) = x / (x^2 + r^2)^(1/2).
Таким образом, уравнение для задачи будет выглядеть следующим образом: h / (d^2 + r^2)^(1/2) = n * x / (x^2 + r^2)^(1/2).
Подставляем известные данные, получаем: 3 / (d^2 + r^2)^(1/2) = 1,33 * x / (x^2 + r^2)^(1/2).
Решая это уравнение относительно r, мы найдем минимальный радиус диска, при котором свет не выходит из воды.
