На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 2 раза меньше, чем на ее поверхности?

Для того чтобы найти высоту над поверхностью Земли, на которой ускорение свободного падения (g') становится в 2 раза меньше, чем на её поверхности (g), нужно воспользоваться законом всемирного тяготения и формулой для ускорения свободного падения.

На поверхности Земли ускорение свободного падения ( g ) определяется формулой: [ g = \frac{GM}{R^2} ] где:

• ( G ) — гравитационная постоянная (( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} )),
• ( M ) — масса Земли (( 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг} )),
• ( R ) — радиус Земли (( 6.371 \times 10^6 \, \text{м} )).

На высоте ( h ) над поверхностью Земли ускорение свободного падения ( g' ) определяется формулой: [ g' = \frac{GM}{(R + h)^2} ]

По условию задачи, ( g' ) должно быть в 2 раза меньше, чем ( g ): [ g' = \frac{g}{2} ]

Подставим выражения для ( g ) и ( g' ): [ \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{GM}{R^2} ]

Сократим ( GM ) с обеих сторон уравнения: [ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{2R^2} ]

Перепишем уравнение, чтобы выразить ( (R + h)^2 ): [ (R + h)^2 = 2R^2 ]

Возьмём квадратный корень от обеих сторон уравнения: [ R + h = R \sqrt{2} ]

Теперь выразим высоту ( h ): [ h = R (\sqrt{2} - 1) ]

Подставим значение радиуса Земли ( R = 6.371 \times 10^6 \, \text{м} ): [ h = 6.371 \times 10^6 \times (\sqrt{2} - 1) ]

[ h \approx 6.371 \times 10^6 \times (1.414 - 1) ]

[ h \approx 6.371 \times 10^6 \times 0.414 ]

[ h \approx 2.638 \times 10^6 \, \text{м} ]

Таким образом, высота над поверхностью Земли, на которой ускорение свободного падения в 2 раза меньше, чем на ее поверхности, составляет примерно 2638 км.

На высоте примерно 3180 км.