Однородная балка массы 8 кг уравновешена на трёхгранной призме. Если четвёртую часть балки отрезать,...

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть принцип моментов (или принцип равновесия моментов) и условия равновесия для балки.

Изначально у нас есть однородная балка массой 8 кг, которая уравновешена на трёхгранной призме, что означает, что точка опоры находится в центре балки. Поскольку балка однородная, центр масс также находится в середине балки. Длина балки обозначим как ( L ).

Масса балки распределена равномерно, поэтому масса на каждую единицу длины равна:

[ \lambda = \frac{m}{L} = \frac{8 \text{ кг}}{L} ]

Теперь отрежем четверть балки. Длина отрезанной части будет:

[ L_1 = \frac{L}{4} ]

Масса отрезанной части:

[ m_1 = \lambda \cdot L_1 = \frac{8 \text{ кг}}{L} \cdot \frac{L}{4} = 2 \text{ кг} ]

Оставшаяся часть балки будет иметь массу:

[ m_2 = 8 \text{ кг} - 2 \text{ кг} = 6 \text{ кг} ]

Длина оставшейся части балки:

[ L_2 = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4} ]

Центр масс оставшейся части балки будет находиться на середине оставшейся длины, то есть:

[ x_2 = \frac{L_2}{2} = \frac{\frac{3L}{4}}{2} = \frac{3L}{8} ]

Для сохранения равновесия балки необходимо, чтобы сумма моментов сил относительно точки опоры была равна нулю. Пусть точка опоры находится в центре исходной балки (в её середине), тогда эта точка делит балку на две равные части длиной ( \frac{L}{2} ).

Теперь нужно определить момент сил, действующих на балку после отрезания части. Предположим, что точка опоры остается на прежнем месте, и мы хотим найти силу, которую нужно приложить к отрезанному концу оставшейся части балки для сохранения равновесия.

Для этого, введем силу ( F ), которую мы приложим вертикально вверх к отрезанному концу оставшейся части балки. Центр масс оставшейся части балки будет смещен на ( \frac{3L}{8} ) от точки опоры.

Момент силы ( F ) относительно точки опоры:

[ M_F = F \cdot \frac{3L}{4} ]

Момент веса оставшейся части балки:

[ M_{m_2} = m_2 \cdot g \cdot \frac{3L}{8} ]

Условие равновесия:

[ MF = M{m_2} ]

[ F \cdot \frac{3L}{4} = m_2 \cdot g \cdot \frac{3L}{8} ]

Подставим значения:

[ F \cdot \frac{3L}{4} = 6 \text{ кг} \cdot 9.81 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{3L}{8} ]

Сократим ( \frac{3L}{4} ) и ( \frac{3L}{8} ):

[ F = \frac{6 \cdot 9.81 \cdot \frac{3}{8}}{\frac{3}{4}} ]

[ F = \frac{6 \cdot 9.81 \cdot 3}{8} \cdot \frac{4}{3} ]

[ F = \frac{6 \cdot 9.81 \cdot 3 \cdot 4}{8 \cdot 3} ]

[ F = 6 \cdot 9.81 \cdot \frac{1}{2} ]

[ F = 6 \cdot 4.905 ]

[ F = 29.43 \text{ Н} ]

Таким образом, для сохранения равновесия балки необходимо приложить вертикальную силу величиной 29.43 Н к отрезанному концу.

Для сохранения равновесия балки после отрезания четверти её длины, следует приложить вертикальную силу, равную половине веса отрезанной части балки.

Для решения данной задачи можно воспользоваться условием равновесия моментов сил относительно точки опоры. После отрезания четверти балки масса уменьшится до 6 кг. Пусть отрезанная часть балки имеет массу 2 кг. Тогда масса оставшейся части балки будет равна 6 кг.

Теперь обозначим расстояния от точки опоры до центра масс каждой из частей балки: ( L_1 ) для отрезанной части (1/4 балки) и ( L_2 ) для оставшейся части (3/4 балки).

Пусть ( F ) - искомая вертикальная сила, приложенная к отрезанному концу балки. Тогда условие равновесия моментов сил относительно точки опоры можно записать следующим образом:

( F \cdot L_1 = 6 \cdot g \cdot L_2 )

где ( g ) - ускорение свободного падения (принимаем ( g = 10 м/с^2 )).

Так как балка уравновешена на трёхгранной призме, то ( L_1 = L_2 ). Поэтому выражение примет вид:

( F \cdot L = 6 \cdot g \cdot L )

Отсюда следует, что искомая вертикальная сила ( F = 60 Н ). Таким образом, чтобы сохранить равновесие балки после отрезания четверти, необходимо приложить вертикальную силу величиной 60 Н к отрезанному концу балки.