Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой...

Для точки, совершающей гармонические колебания, максимальное значение скорости достигается в крайних точках траектории, то есть в точках, где амплитуда считается. Максимальная скорость равна максимальной скорости кругового движения и определяется формулой:

Vmax = Aω

где A - амплитуда колебаний, а ω - угловая частота, выражаемая через период колебаний T:

ω = 2π / T ω = 2π / 4 ω = π / 2

Таким образом, максимальная скорость точки будет:

Vmax = (0.03 м) * (π / 2 с⁻¹) Vmax ≈ 0.047 м/с

Максимальное значение ускорения также достигается в крайних точках траектории и определяется формулой:

amax = Aω²

Используя найденное значение ω:

amax = (0.03 м) * (π / 2 с⁻¹)² amax ≈ 0.111 м/с²

Таким образом, максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A = 3 см и периодом T = 4 с, составляют соответственно около 0.047 м/с и 0.111 м/с².

Максимальная скорость равна ( V{max} = 2\pi A / T ), максимальное ускорение равно ( a{max} = 4\pi^2 A / T^2 ). Подставив значения амплитуды ( A = 3) см и периода ( T = 4) с, получаем ( V{max} = 4.71 ) см/с, ( a{max} = 7.85 ) см/с².

Гармонические колебания описываются уравнением ( x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) ), где ( x(t) ) — это смещение точки в момент времени ( t ), ( A ) — амплитуда колебаний, ( \omega ) — угловая частота, и ( \varphi ) — начальная фаза.

Амплитуда ( A ) дана как 3 см (0.03 м), и период ( T ) равен 4 с. Сначала найдем угловую частоту ( \omega ).

Угловая частота ( \omega ) связана с периодом ( T ) следующим образом: [ \omega = \frac{2\pi}{T} ]

Подставим значение периода: [ \omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, \text{рад/с} ]

Теперь найдем максимальную скорость ( v_{\text{max}} ). Скорость гармонического осциллятора равна первой производной от смещения по времени: [ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \varphi) ]

Максимальная скорость достигается, когда (\sin(\omega t + \varphi) = \pm 1 ): [ v_{\text{max}} = A\omega ]

Подставим известные значения ( A ) и ( \omega ): [ v{\text{max}} = 0.03 \, \text{м} \cdot \frac{\pi}{2} \, \text{рад/с} = 0.015\pi \, \text{м/с} ] [ v{\text{max}} \approx 0.047 \, \text{м/с} ]

Теперь найдем максимальное ускорение ( a_{\text{max}} ). Ускорение гармонического осциллятора равно второй производной от смещения по времени: [ a(t) = \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi) ]

Максимальное ускорение достигается, когда (\cos(\omega t + \varphi) = \pm 1 ): [ a_{\text{max}} = A\omega^2 ]

Подставим значения ( A ) и ( \omega ): [ a{\text{max}} = 0.03 \, \text{м} \cdot \left(\frac{\pi}{2} \, \text{рад/с}\right)^2 = 0.03 \, \text{м} \cdot \frac{\pi^2}{4} \, \text{рад}^2/\text{с}^2 ] [ a{\text{max}} = 0.0075\pi^2 \, \text{м/с}^2 ] [ a_{\text{max}} \approx 0.074 \, \text{м/с}^2 ]

Таким образом, максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, составляет примерно 0.047 м/с, а максимальное ускорение — примерно 0.074 м/с².