Открытый колебательный контур излучает радиоволны с длиной волны 300м.а)определите частоту излучаемых волн.б)определите индуктивность контура, если его ёмкость 5000пФ.В)на сколько и как нужно изменить индуктивность контура,чтобы излучались радиоволны вдвое большей длины волны?
Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с основных формул, связанных с колебательным контуром и радиоволнами.
Длина волны ((\lambda)) связана с частотой ((f)) и скоростью света ((c)) уравнением: [ c = \lambda \cdot f ] где (c = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}).
Длина волны (\lambda = 300 \, \text{м}). Подставим значения в уравнение: [ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{300} = 1 \times 10^6 \, \text{Гц} ] Таким образом, частота излучаемых волн составляет 1 МГц.
Связь между частотой, индуктивностью ((L)) и емкостью ((C)) колебательного контура описывается формулой Томсона: [ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} ]
Распишем это уравнение относительно индуктивности (L): [ L = \frac{1}{(2\pi f)^2 C} ]
Подставим известные значения: (f = 1 \times 10^6 \, \text{Гц}) и (C = 5000 \, \text{пФ} = 5000 \times 10^{-12} \, \text{Ф}): [ L = \frac{1}{(2\pi \times 1 \times 10^6)^2 \times 5000 \times 10^{-12}} ]
Вычислим: [ L = \frac{1}{(6.28 \times 10^6)^2 \times 5000 \times 10^{-12}} ]
[ L \approx \frac{1}{3.94 \times 10^{13} \times 5000 \times 10^{-12}} ]
[ L \approx \frac{1}{1.97 \times 10^2} ]
[ L \approx 5.08 \times 10^{-3} \, \text{Гн} ]
Таким образом, индуктивность контура составляет примерно 5.08 мГн.
Если длина волны должна быть вдвое больше, то новая длина волны (\lambda' = 600 \, \text{м}). Соответственно, новая частота (f') будет: [ f' = \frac{c}{\lambda'} = \frac{3 \times 10^8}{600} = 0.5 \times 10^6 \, \text{Гц} ]
Используя формулу Томсона для новой частоты: [ f' = \frac{1}{2\pi \sqrt{L'C}} ]
Выразим новую индуктивность (L'): [ L' = \frac{1}{(2\pi f')^2 C} ]
Подставим значения: [ L' = \frac{1}{(2\pi \times 0.5 \times 10^6)^2 \times 5000 \times 10^{-12}} ]
Вычислим: [ L' = \frac{1}{(3.14 \times 10^6)^2 \times 5000 \times 10^{-12}} ]
[ L' = \frac{1}{9.86 \times 10^{12} \times 5000 \times 10^{-12}} ]
[ L' = \frac{1}{4.93 \times 10^1} ]
[ L' \approx 2.03 \times 10^{-2} \, \text{Гн} ]
Таким образом, новая индуктивность составляет примерно 20.3 мГн.
Изменение индуктивности: Для увеличения длины волны вдвое, индуктивность контура должна быть увеличена с примерно 5.08 мГн до 20.3 мГн. Это означает, что индуктивность необходимо увеличить примерно на 15.22 мГн.
а) Длина волны связана с частотой следующим образом: λ = c / f, где λ - длина волны, c - скорость света (приблизительно 3 10^8 м/с), f - частота излучаемых волн. Из этого уравнения можно выразить частоту: f = c / λ. Подставляя известные значения, получаем f = (3 10^8 м/с) / 300 м = 10^6 Гц.
б) Резонансная частота колебательного контура определяется формулой: f = 1 / (2π√(LC)), где L - индуктивность контура, C - его ёмкость. Известно, что f = 10^6 Гц и C = 5000 пФ = 5 10^-9 Ф. Подставляя значения в формулу, можно найти индуктивность: 10^6 = 1 / (2π√(L 5 * 10^-9)). Решая уравнение, получаем L ≈ 3.183 мГн.
в) Чтобы излучались радиоволны вдвое большей длины волны, нужно изменить длину волны с 300 м до 600 м. Подставляя значение длины в формулу λ = c / f, находим новую частоту f = (3 10^8 м/с) / 600 м = 5 10^5 Гц. Зная новую частоту и ёмкость контура, можно найти новую индуктивность по формуле f = 1 / (2π√(L' 5 10^-9)). Решая уравнение, получаем L' ≈ 12.732 мГн. Для излучения радиоволн вдвое большей длины волны, индуктивность контура должна быть увеличена до примерно 12.732 мГн.
