Пять шаров, массы которых равны соответственно m, 2m, Зm, 4m и 5m, укреплены на стержне так, что их...

Для решения задачи о нахождении центра тяжести системы тел воспользуемся определением центра масс. Координата центра масс (центра тяжести, если система находится в однородном гравитационном поле) определяется по формуле:

[ x_{c} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, ]

где (m_i) — масса (i)-го тела, (x_i) — координата этого тела, а (\sum m_i) — суммарная масса всех тел.

Условие задачи

• Массы шаров: (m_1 = m), (m_2 = 2m), (m_3 = 3m), (m_4 = 4m), (m_5 = 5m).
• Расстояние между центрами шаров: (l).
• Примем, что координата первого шара равна (x_1 = 0), второго (x_2 = l), третьего (x_3 = 2l), четвёртого (x_4 = 3l), пятого (x_5 = 4l).

Сначала найдём суммарную массу системы:

[ M = m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 = m + 2m + 3m + 4m + 5m = 15m. ]

Теперь подставим значения масс и координат в формулу для (x_c):

[ x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4 + m_5 x_5}{M}. ]

Подставим значения:

[ x_c = \frac{m \cdot 0 + 2m \cdot l + 3m \cdot 2l + 4m \cdot 3l + 5m \cdot 4l}{15m}. ]

Упростим числитель:

[ x_c = \frac{0 + 2ml + 6ml + 12ml + 20ml}{15m}. ]

Сложим все слагаемые в числителе:

[ x_c = \frac{40ml}{15m}. ]

Сократим (m) в числителе и знаменателе:

[ x_c = \frac{40l}{15}. ]

Упростим дробь:

[ x_c = \frac{8l}{3}. ]

Ответ:

Центр тяжести системы находится на расстоянии (\frac{8l}{3}) от начала координат (первого шара).

Чтобы найти центр тяжести системы из пяти шаров, нужно рассчитать его положение относительно выбранной системы координат. Мы будем использовать координаты, чтобы представить позиции каждого шара на стержне и затем вычислить центр тяжести.

Обозначим положение первого шара (масса (m)) как (x_1 = 0). Поскольку расстояние между центрами шаров равно (l), тогда координаты остальных шаров будут:

• Второй шар (масса (2m)): (x_2 = l)
• Третий шар (масса (3m)): (x_3 = 2l)
• Четвертый шар (масса (4m)): (x_4 = 3l)
• Пятый шар (масса (5m)): (x_5 = 4l)

Теперь мы можем вычислить центр тяжести (x_{cg}) системы по формуле:

[ x_{cg} = \frac{\sum (m_i \cdot x_i)}{\sum m_i} ]

где (m_i) — масса (i)-го шара, а (x_i) — его координата.

Теперь подставим значения в формулу:

1. Рассчитаем числитель:

[ \sum (m_i \cdot x_i) = m \cdot 0 + 2m \cdot l + 3m \cdot 2l + 4m \cdot 3l + 5m \cdot 4l ]

Это упрощается до:

[ = 0 + 2ml + 6ml + 12ml + 20ml = (0 + 2 + 6 + 12 + 20)ml = 40ml ]

1. Рассчитаем знаменатель:

[ \sum m_i = m + 2m + 3m + 4m + 5m = 15m ]

Теперь мы можем подставить полученные значения в формулу для центра тяжести:

[ x_{cg} = \frac{40ml}{15m} = \frac{40l}{15} = \frac{8l}{3} ]

Таким образом, центр тяжести системы находится на расстоянии (\frac{8l}{3}) от первого шара, который был расположен в начале координат.