Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса момента. В системе "платформа + человек" без внешних сил суммарный момент импульса сохраняется.
Начнем с определения момента инерции платформы и человека. Момент инерции платформы ( I{\text{платформа}} ) относительно вертикальной оси, проходящей через центр платформы, для однородного диска задается формулой:
[ I{\text{платформа}} = \frac{1}{2} M R^2 ]
где ( M = 120 \text{ кг} ) — масса платформы, ( R = 2 \text{ м} ) — радиус платформы. Подставим значения:
[ I_{\text{платформа}} = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot (2)^2 = 240 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ]
Человека можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на расстоянии ( R ) от оси вращения. Момент инерции человека ( I{\text{человек}} ) относительно этой оси:
[ I{\text{человек}} = m r^2 ]
где ( m = 60 \text{ кг} ), ( r = 2 \text{ м} ). Подставим значения:
[ I_{\text{человек}} = 60 \cdot (2)^2 = 240 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ]
Суммарный момент инерции системы "платформа + человек":
[ I{\text{система}} = I{\text{платформа}} + I_{\text{человек}} = 240 + 240 = 480 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 ]
Теперь рассмотрим, что происходит при движении человека. Пусть человек идет вдоль края платформы со скоростью ( v ) относительно платформы. Относительная угловая скорость человека ( \omega{\text{человек}} ) задается как:
[ \omega{\text{человек}} = \frac{v}{R} ]
Платформа начинает вращаться со скоростью ( \omega{\text{платформа}} ), которую нам нужно найти. Согласно условию задачи, эта скорость равна 3,0 об/мин. Переведем её в радианы в секунду:
[ \omega{\text{платформа}} = 3 \text{ оборота в минуту} \cdot \frac{2\pi \text{ рад}}{1 \text{ оборот}} \cdot \frac{1 \text{ мин}}{60 \text{ сек}} = \frac{6\pi}{60} = \frac{\pi}{10} \text{ рад/сек} ]
Согласно закону сохранения момента импульса, начальный момент импульса системы равен нулю (платформа и человек неподвижны). Когда человек начинает движение, момент импульса системы сохраняется:
[ I{\text{человек}} \cdot \omega{\text{человек}} + I{\text{платформа}} \cdot \omega{\text{платформа}} = 0 ]
Подставим выражения для моментов инерции и угловых скоростей:
[ 240 \cdot \frac{v}{2} = -240 \cdot \frac{\pi}{10} ]
[ 120v = -24\pi ]
[ v = -\frac{24\pi}{120} = -\frac{\pi}{5} ]
Модуль скорости ( v ):
[ v = \frac{\pi}{5} \text{ м/с} ]
Таким образом, человек должен двигаться со скоростью ( \frac{\pi}{5} \text{ м/с} ) (приблизительно 0.628 м/с) вдоль края платформы, чтобы платформа начала вращаться со скоростью, соответствующей 3.0 об/мин.
