По двум пересекающимся под углом 60° дорогам движутся два автомобиля с одинаковыми скоростями, равными 20 м/с. Через какое время после встречи у перекрестка расстояние между ними станет равным 3 км?
По двум пересекающимся под углом 60° дорогам движутся два автомобиля с одинаковыми скоростями, равными 20 м/с. Через какое время после встречи у перекрестка расстояние между ними станет равным 3 км?
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа движения автомобилей и геометрии ситуации.
Дано:
Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками, движущимися по разным траекториям. В данном случае, траектории автомобилей образуют угол 60°.
Пусть ( t ) — время после встречи у перекрестка.
Через ( t ) секунд оба автомобиля проедут расстояние ( s = vt ), где ( v ) — скорость автомобиля.
Для каждого автомобиля это расстояние составит: [ s = 20t ]
Пусть ( d(t) ) — расстояние между автомобилями через время ( t ).
По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя отрезками длиной ( 20t ) и углом между ними 60°: [ d(t)^2 = (20t)^2 + (20t)^2 - 2 \cdot (20t) \cdot (20t) \cdot \cos(60^\circ) ]
Подставим значения: [ d(t)^2 = 400t^2 + 400t^2 - 2 \cdot 400t^2 \cdot \frac{1}{2} ] [ d(t)^2 = 400t^2 + 400t^2 - 400t^2 ] [ d(t)^2 = 400t^2 ]
Известно, что ( d(t) = 3000 ) м: [ d(t) = 3000 ] [ 3000^2 = 400t^2 ] [ 9000000 = 400t^2 ] [ t^2 = \frac{9000000}{400} ] [ t^2 = 22500 ] [ t = \sqrt{22500} ] [ t = 150 ]
Через 150 секунд после встречи у перекрестка расстояние между автомобилями станет равным 3 км.
Для решения данной задачи нам необходимо определить время, через которое расстояние между автомобилями станет равным 3 км.
Известно, что скорость обоих автомобилей равна 20 м/с, а угол между дорогами составляет 60°. После встречи на перекрестке автомобили будут двигаться параллельно друг другу вдоль дороги. Таким образом, для нахождения времени, через которое расстояние между ними станет равным 3 км, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.
Пусть А и В - позиции автомобилей после встречи, С - точка, в которой расстояние между ними станет равным 3 км. Треугольник ABC будет прямоугольным, где AB = 3 км, AC = BC = x (расстояние, которое прошли автомобили после встречи).
Используя теорему Пифагора, получаем: (3)^2 = x^2 + x^2 9 = 2x^2 x^2 = 4.5 x = √4.5 x ≈ 2.12 км
Теперь можно найти время, за которое автомобили пройдут расстояние x с одинаковой скоростью 20 м/с: t = x / v t = 2.12 км / (20 м/с) t ≈ 106 с
Таким образом, через примерно 106 секунд после встречи на перекрестке расстояние между автомобилями станет равным 3 км.
Через 300 секунд (5 минут) после встречи на перекрестке расстояние между автомобилями станет равным 3 км.
