Ракета, стартовая масса которой m = 10 в 6степени кг через 1 мин после старта при секундном расходе топлива M(мю) = 7,510 в 3степени кг/с. Скорость истечения газов относительно ракеты постоянна и равна u = 210 в 3степени м/с. Ракета движется вертикально вверх.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы сохранения импульса и закон изменения импульса ракеты.
Импульс ракеты можно выразить как произведение её массы на скорость: I = m * v, где m - масса ракеты, v - скорость ракеты.
После 1 минуты после старта ракета уже потеряла часть своей массы из-за расхода топлива. Масса ракеты в момент t = 1 минута будет равна m' = m - M*t, где M - расход топлива в секунду, t - время.
Таким образом, импульс ракеты через 1 минуту после старта можно записать как I' = m' * v, где v - скорость ракеты через 1 минуту.
По закону сохранения импульса импульс ракеты до и после старта должен оставаться равным: I = I'.
Также, по закону изменения импульса ракеты можем записать уравнение: m v = m' v' + M * u, где v' - скорость ракеты после вылета газов, u - скорость истечения газов.
Используя данные из условия задачи, можно решить систему уравнений и найти скорость ракеты через 1 минуту после старта.
Решение задачи требует более точных числовых значений, чтобы определить скорость ракеты через 1 минуту после старта.
Для анализа движения ракеты, нам нужно использовать уравнение Циолковского, которое описывает изменение скорости ракеты в зависимости от расхода топлива и скорости истечения газов. Уравнение имеет вид:
[ \Delta v = u \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m}\right) ]
где:
Начальная масса ракеты (m_0 = 10^6) кг. Через 1 минуту расход топлива будет:
[ M = 7.5 \times 10^3 \, \text{кг/с} \times 60 \, \text{с} = 4.5 \times 10^5 \, \text{кг} ]
Следовательно, масса ракеты через 1 минуту будет:
[ m = m_0 - M = 10^6 \, \text{кг} - 4.5 \times 10^5 \, \text{кг} = 5.5 \times 10^5 \, \text{кг} ]
Теперь подставим эти значения в уравнение Циолковского:
[ \Delta v = 2 \times 10^3 \cdot \ln\left(\frac{10^6}{5.5 \times 10^5}\right) ]
Посчитаем логарифм:
[ \ln\left(\frac{10^6}{5.5 \times 10^5}\right) = \ln\left(\frac{1000000}{550000}\right) = \ln(1.8181) \approx 0.5978 ]
Теперь подставим в уравнение для (\Delta v):
[ \Delta v = 2 \times 10^3 \cdot 0.5978 \approx 1195.6 \, \text{м/с} ]
Это значение (\Delta v) не учитывает силы тяжести, действующей на ракету. Для учета силы тяжести на высоте, которая еще мала, чтобы изменять ускорение свободного падения (g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2), мы можем использовать следующее соотношение для эффективного изменения скорости с учетом силы тяжести:
[ v_{\text{эфф}} = \Delta v - g \cdot t ]
где (t = 60) секунд.
[ v_{\text{эфф}} = 1195.6 - 9.81 \times 60 ]
[ v_{\text{эфф}} = 1195.6 - 588.6 = 607 \, \text{м/с} ]
Таким образом, с учетом силы тяжести, эффективная скорость ракеты через 1 минуту после старта составляет примерно 607 м/с. Это является приближенной оценкой, так как не учитываются изменения в ускорении свободного падения и сопротивлении воздуха.
Используя закон сохранения импульса, можно определить, что скорость ракеты через 1 минуту после старта будет равна примерно 1671 м/с.
