Шарик массой m, висящий на нити, отвели от положения равновесия на 90° и отпустили. Найдите силу натяжения...

Когда шарик отвели на 90° от положения равновесия, сила натяжения нити будет равна силе тяжести шарика m*g, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения.

При угле α = 0° нить будет вертикально вниз, и сила натяжения нити будет равна силе тяжести шарика m*g.

Таким образом, сила натяжения нити в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол α, равный 0°, будет равна силе тяжести шарика и составит m*g.

Для решения этой задачи необходимо использовать закон сохранения энергии и второй закон Ньютона.

1. Энергетический подход:

   Когда шарик находится в крайнем верхнем положении (угол 90°), его потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю. В нижней точке (угол 0°) потенциальная энергия минимальна, а кинетическая энергия максимальна. Исходя из закона сохранения энергии, полная механическая энергия системы сохраняется, то есть сумма кинетической и потенциальной энергии остаются постоянными.

   В верхней точке (угол 90°), вся энергия является потенциальной: [ E_{\text{пот}} = mgh = mgL, ] где ( h = L ) — высота, на которую поднят шарик, и ( L ) — длина нити.

   При прохождении нижней точки (угол 0°), потенциальная энергия минимальна, поэтому: [ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2 = mgL. ]

   Из этого уравнения можно найти скорость шарика в нижней точке: [ \frac{1}{2}mv^2 = mgL \Rightarrow v^2 = 2gL \Rightarrow v = \sqrt{2gL}. ]

2. Динамический подход (второй закон Ньютона):

   В нижней точке на шарик действуют две силы: сила тяжести ( mg ) вниз и сила натяжения нити ( T ) вверх. Поскольку в нижней точке движение шарика происходит по окружности, на него действует центростремительное ускорение. В этой точке сила натяжения нити уравновешивает силу тяжести и обеспечивает центростремительное ускорение:

   [ T - mg = \frac{mv^2}{L}. ]

   Подставим найденное значение скорости ( v ): [ T - mg = \frac{m(2gL)}{L} = 2mg. ]

   Следовательно, сила натяжения в нижней точке равна: [ T = 2mg + mg = 3mg. ]

Таким образом, сила натяжения нити в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол ( \alpha = 0^\circ ), равна ( 3mg ).