Скорость движения задана уравнением v=8-2t. Запишите уравнение для перемещения и определите через какое...

Чтобы найти уравнение для перемещения, начнем с уравнения скорости, которое задано как ( v = 8 - 2t ).

Шаг 1: Найдем уравнение перемещения

Скорость является производной перемещения по времени. То есть, если ( x(t) ) — это перемещение, то: [ v = \frac{dx}{dt} ] Заменим ( v ) на заданное уравнение: [ \frac{dx}{dt} = 8 - 2t ]

Теперь интегрируем обе стороны по времени: [ dx = (8 - 2t) dt ]

Интегрируя, получим: [ \int dx = \int (8 - 2t) dt ]

Слева мы получаем ( x ): [ x = 8t - t^2 + C ] где ( C ) — константа интегрирования, которая зависит от начальных условий. Если начальное перемещение в момент времени ( t = 0 ) равно ( x_0 ), то ( C = x_0 ).

Таким образом, уравнение перемещения: [ x(t) = 8t - t^2 + x_0 ]

Шаг 2: Определим время, через которое тело остановится

Тело остановится, когда скорость ( v ) станет равной нулю. Установим уравнение скорости равно нулю: [ 8 - 2t = 0 ]

Решим это уравнение: [ 2t = 8 \ t = 4 ]

Таким образом, тело остановится через 4 секунды.

Итог

1. Уравнение перемещения: ( x(t) = 8t - t^2 + x_0 ).
2. Время, через которое тело остановится: ( t = 4 ) секунды.

Давайте разберём задачу подробно.

Нам дано уравнение скорости движения тела:

[ v(t) = 8 - 2t ]

где (v(t)) — скорость тела в момент времени (t), (t) — время.

1. Уравнение для перемещения

Скорость (v(t)) связана с перемещением (x(t)) через производную:

[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt}. ]

Чтобы найти уравнение перемещения (x(t)), нам необходимо проинтегрировать уравнение скорости (v(t)):

[ x(t) = \int v(t) \, dt = \int (8 - 2t) \, dt. ]

Рассчитаем интеграл:

[ x(t) = \int 8 \, dt - \int 2t \, dt. ]

Каждый из интегралов решается по известным правилам:

[ \int 8 \, dt = 8t, \quad \int 2t \, dt = t^2. ]

Таким образом:

[ x(t) = 8t - t^2 + C, ]

где (C) — постоянная интегрирования, которая зависит от начальных условий задачи (например, начального положения тела). Если начальное положение тела (x(0) = 0), то подставляем (t = 0) в (x(t)):

[ x(0) = 8 \cdot 0 - 0^2 + C = 0 \implies C = 0. ]

Следовательно, уравнение перемещения будет:

[ x(t) = 8t - t^2. ]

2. Время остановки тела

Тело останавливается, когда его скорость становится равной нулю. Из уравнения скорости:

[ v(t) = 8 - 2t. ]

Приравняем скорость к нулю, чтобы найти момент остановки:

[ 8 - 2t = 0. ]

Решим это уравнение относительно (t):

[ 2t = 8 \implies t = 4. ]

Таким образом, тело остановится через (t = 4) секунды.

Итог

1. Уравнение перемещения тела:

[ x(t) = 8t - t^2. ]

1. Тело остановится через (t = 4) секунды.

Скорость тела задана уравнением ( v = 8 - 2t ). Чтобы найти уравнение для перемещения ( s(t) ), нужно интегрировать скорость по времени:

[ s(t) = \int v \, dt = \int (8 - 2t) \, dt = 8t - t^2 + C, ]

где ( C ) — постоянная интегрирования, которую можно принять равной нулю, если начальное перемещение равно нулю (то есть ( s(0) = 0 )).

Теперь найдем время, когда тело остановится. Тело останавливается, когда скорость равна нулю:

[ 0 = 8 - 2t \implies 2t = 8 \implies t = 4. ]

Таким образом, тело остановится через 4 секунды.