Сопротивление каждого из проводников, соединённых в квадрат, и проводников, образующих диагонали квадрата, равно r. Определите эквивалентное сопротивление при подключении источника тока: 1) к соседним вершинам; 2) к вершинам, лежащим на одной диагонали. В точке пересечения диагоналей контакта нет.
Для решения этой задачи необходимо проанализировать схему, состоящую из резисторов, соединённых в форме квадрата, и рассмотреть два разных способа подключения источника тока.
1) Подключение к соседним вершинам квадрата.
Представим, что квадрат ABCD со сторонами AB, BC, CD и DA, где каждая сторона имеет сопротивление r. Подключаем источник тока к вершинам A и B. В таком случае, ток будет распределяться по двум путям: один путь от A к B через резистор AB напрямую, и второй путь от A к B через три резистора AD, DC и CB.
Параллельно соединённые цепи:
Так как резисторы соединены параллельно, общее сопротивление можно найти по формуле: [ \frac{1}{R{\text{экв}}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{3r} ] [ R{\text{экв}} = \frac{3r \cdot r}{4r} = \frac{3r^2}{4r} = \frac{3r}{4} ] Таким образом, при подключении к соседним вершинам эквивалентное сопротивление равно ( \frac{3r}{4} ).
2) Подключение к вершинам, лежащим на одной диагонали.
Теперь рассмотрим подключение к вершинам A и C. Два пути от A к C: один через AD и DC, второй через AB и BC. Опять же, каждый из путей имеет сопротивление 2r (AD + DC = r + r; AB + BC = r + r).
Так как оба пути имеют одинаковое сопротивление и соединены параллельно, общее сопротивление равно: [ \frac{1}{R{\text{экв}}} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r} ] [ R{\text{экв}} = r ] Таким образом, при подключении к вершинам, лежащим на одной диагонали, эквивалентное сопротивление равно ( r ).
Итак, при подключении к соседним вершинам эквивалентное сопротивление составляет ( \frac{3r}{4} ), а при подключении к вершинам на диагонали — ( r ).
При подключении источника тока к соседним вершинам квадрата, сопротивление цепи будет равно r/2, так как оба проводника параллельно соединены и их сопротивления складываются как параллельные сопротивления.
При подключении источника тока к вершинам, лежащим на одной диагонали квадрата, сопротивление цепи будет равно r, так как проводники образующие диагональ соединены последовательно, и их сопротивления складываются как последовательные сопротивления.
Таким образом, эквивалентное сопротивление при подключении источника тока к соседним вершинам равно r/2, а при подключении к вершинам, лежащим на одной диагонали - r.
