Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам,а масса Луны в 81 раз меньше чем масса Земли. В какой точке отрезка, соеденяющего центы Земли и Луны,тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?
Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам,а масса Луны в 81 раз меньше чем масса Земли. В какой точке отрезка, соеденяющего центы Земли и Луны,тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?
Для решения задачи о нахождении точки, в которой тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковой силой, воспользуемся законом всемирного тяготения.
Обозначим:
Согласно условию, масса Луны в 81 раз меньше массы Земли: [ M_L = \frac{M_E}{81}. ]
Сила притяжения от Земли на тело в точке, находящейся на расстоянии ( x ) от центра Земли, равна: [ F_E = \frac{G M_E m}{x^2}, ] где ( G ) — гравитационная постоянная, ( m ) — масса тела.
Сила притяжения от Луны на тело в этой же точке, находящейся на расстоянии ( d - x ) от Луны, равна: [ F_L = \frac{G M_L m}{(d - x)^2}. ]
Для того чтобы силы были равны, необходимо, чтобы выполнялось равенство: [ F_E = F_L. ]
Подставим выражения для сил: [ \frac{G M_E m}{x^2} = \frac{G M_L m}{(d - x)^2}. ]
Сократив ( G ) и ( m ), получим: [ \frac{M_E}{x^2} = \frac{M_L}{(d - x)^2}. ]
Подставим ( M_L = \frac{M_E}{81} ) и ( d = 60R_E ): [ \frac{M_E}{x^2} = \frac{\frac{M_E}{81}}{(60R_E - x)^2}. ]
Упростим уравнение, умножив обе стороны на ( 81 x^2 (60R_E - x)^2 ): [ 81 M_E (60R_E - x)^2 = M_E x^2. ]
Сократим на ( M_E ) (предполагая, что ( M_E \neq 0 )): [ 81 (60R_E - x)^2 = x^2. ]
Раскроем скобки: [ 81 (3600R_E^2 - 120R_E x + x^2) = x^2. ]
Упрощая полученное уравнение: [ 656100R_E^2 - 9720R_E x + 80x^2 = 0. ]
Теперь мы имеем квадратное уравнение вида ( Ax^2 + Bx + C = 0 ), где:
Решим его с помощью дискриминанта: [ D = B^2 - 4AC = (-9720 R_E)^2 - 4 \cdot 80 \cdot 656100 R_E^2. ]
Посчитаем дискриминант: [ D = 94478400 R_E^2 - 20928000 R_E^2 = 73550400 R_E^2. ]
Теперь найдем корни квадратного уравнения: [ x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{9720 R_E \pm \sqrt{73550400} R_E}{160}. ]
Вычислим ( \sqrt{73550400} ): [ \sqrt{73550400} \approx 8588.07. ]
Теперь подставим это значение: [ x = \frac{9720 R_E \pm 8588.07 R_E}{160}. ]
Найдем два возможных значения:
Так как ( x ) должно находиться между центрами Земли и Луны, то подходим только к значению ( x_2 \approx 0.82 R_E ).
Теперь найдем расстояние от Луны до этой точки: [ d - x \approx 60 R_E - 0.82 R_E \approx 59.18 R_E. ]
Таким образом, тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковой силой на расстоянии примерно ( 0.82 R_E ) от центра Земли, что соответствует точке, находящейся ближе к Земле.
Для нахождения точки, в которой силы гравитационного притяжения Земли и Луны на тело будут равны, используется закон всемирного тяготения Ньютона. Этот закон гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, ]
где ( F ) — сила гравитации, ( G ) — гравитационная постоянная, ( m_1 ) и ( m_2 ) — массы тел, а ( r ) — расстояние между ними.
Пусть расстояние между центрами Земли и Луны равно ( R ). Это расстояние составляет 60 земных радиусов (( R = 60R{\text{Земли}} )). Массы Земли и Луны обозначим как ( M{\text{Земли}} ) и ( M{\text{Луны}} ), причём ( M{\text{Луны}} = \frac{M_{\text{Земли}}}{81} ).
Ищем точку на отрезке между Землёй и Луной, в которой силы гравитации будут равны по модулю. Пусть эта точка находится на расстоянии ( x ) от центра Земли. Тогда расстояние от этой точки до Луны равно ( R - x ).
Согласно закону всемирного тяготения, силы притяжения со стороны Земли и Луны в этой точке будут равны:
[ F{\text{Земли}} = F{\text{Луны}}. ]
Подставим формулы для гравитационных сил:
[ G \frac{M{\text{Земли}} m}{x^2} = G \frac{M{\text{Луны}} m}{(R - x)^2}. ]
Здесь ( m ) — масса тела, на которое действуют силы притяжения. Она сокращается из уравнения, как и гравитационная постоянная ( G ):
[ \frac{M{\text{Земли}}}{x^2} = \frac{M{\text{Луны}}}{(R - x)^2}. ]
Подставим ( M{\text{Луны}} = \frac{M{\text{Земли}}}{81} ):
[ \frac{M{\text{Земли}}}{x^2} = \frac{\frac{M{\text{Земли}}}{81}}{(R - x)^2}. ]
Сократим ( M_{\text{Земли}} ):
[ \frac{1}{x^2} = \frac{1}{81(R - x)^2}. ]
Умножим обе части на ( x^2 (R - x)^2 ), чтобы избавиться от знаменателей:
[ (R - x)^2 = \frac{x^2}{81}. ]
Возьмём квадратный корень из обеих сторон:
[ R - x = \frac{x}{9}. ]
Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от дроби:
[ 9(R - x) = x. ]
Раскроем скобки:
[ 9R - 9x = x. ]
Перенесем все члены с ( x ) в одну сторону:
[ 9R = 10x. ]
Найдём ( x ):
[ x = \frac{9R}{10}. ]
Итак, точка, в которой силы гравитационного притяжения Земли и Луны равны, находится на расстоянии:
[ x = \frac{9}{10} R = \frac{9}{10} \cdot 60R{\text{Земли}} = 54R{\text{Земли}}. ]
Таким образом, эта точка расположена на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли, или, что то же самое, 6 земных радиусов от центра Луны (так как ( R - x = 60R{\text{Земли}} - 54R{\text{Земли}} = 6R_{\text{Земли}} )).
