Тело брошено со скоростью V0 с башни высотой h вверх под углом α к горизонту и упало на землю через...

Рассмотрим задачу подробно и поэтапно, чтобы найти время ( t ), в течение которого тело находилось в полете. Для этого сначала разберем движение тела по осям ( x ) (горизонтально) и ( y ) (вертикально).

Дано:

• Угол броска: ( \alpha = 45^\circ ),
• Высота башни: ( h = 10 \, \text{м} ),
• Горизонтальное расстояние: ( L = 65 \, \text{м} ),
• Найти: ( t ) — время полета.

Шаг 1: Разложение скорости на компоненты

Пусть начальная скорость тела равна ( V0 ). Тогда компоненты скорости по осям ( x ) и ( y ) определяются следующим образом: [ V{0x} = V0 \cos\alpha, \quad V{0y} = V0 \sin\alpha. ] Так как угол ( \alpha = 45^\circ ), то ( \sin\alpha = \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} ). Следовательно: [ V{0x} = V0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad V{0y} = V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Шаг 2: Уравнение движения по оси ( x )

Горизонтальное движение равномерное (ускорение отсутствует), поэтому закон движения по оси ( x ) записывается как: [ x = V{0x} \cdot t. ] Подставим выражение для ( V{0x} ): [ L = V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot t. ] Отсюда выражаем начальную скорость ( V_0 ): [ V_0 = \frac{L \cdot \sqrt{2}}{t}. ]

Шаг 3: Уравнение движения по оси ( y )

Движение по вертикали описывается уравнением с учетом ускорения свободного падения ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ): [ y = h + V{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2. ] Так как тело в конечный момент достигает земли (( y = 0 )), запишем это уравнение: [ 0 = h + V{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2. ] Подставим выражение для ( V_{0y} ): [ 0 = h + V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2. ]

Шаг 4: Подстановка ( V_0 ) из уравнения для оси ( x )

Выразим ( V_0 ) через ( L ) и ( t ), как нашли ранее: [ V_0 = \frac{L \cdot \sqrt{2}}{t}. ] Подставим это в уравнение для оси ( y ): [ 0 = h + \left(\frac{L \cdot \sqrt{2}}{t} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot t - \frac{1}{2} g t^2. ] Упростим: [ 0 = h + \frac{L}{t} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2. ] Сократим ( t ) во втором слагаемом: [ 0 = h + L - \frac{1}{2} g t^2. ] Перепишем: [ \frac{1}{2} g t^2 = h + L. ] Отсюда: [ t^2 = \frac{2(h + L)}{g}. ] Извлечем корень для нахождения ( t ): [ t = \sqrt{\frac{2(h + L)}{g}}. ]

Шаг 5: Подстановка численных значений

Подставим значения ( h = 10 \, \text{м} ), ( L = 65 \, \text{м} ), ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ): [ t = \sqrt{\frac{2(10 + 65)}{9.8}}. ] Сложим в числителе: [ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 75}{9.8}}. ] Умножим: [ t = \sqrt{\frac{150}{9.8}}. ] Выполним деление: [ t \approx \sqrt{15.31}. ] Извлечем корень: [ t \approx 3.91 \, \text{с}. ]

Ответ:

Время полета тела составляет примерно ( t \approx 3.91 \, \text{с} ).

График движения:

График траектории тела представляет собой параболу. Она описывается уравнением: [ y = h + x \cdot \tan\alpha - \frac{g x^2}{2 V_{0x}^2}. ] Подставив известные значения, можно построить эту траекторию, где начальная точка находится на высоте ( h = 10 \, \text{м} ), а конечная точка на земле на расстоянии ( L = 65 \, \text{м} ) от основания башни.

Для решения этой задачи о телепроектиле, брошенном под углом к горизонту, мы можем использовать основные уравнения движения. Начнем с того, что мы знаем:

• Высота башни ( h = 10 \, \text{м} )
• Начальная скорость ( V_0 )
• Угол броска ( \alpha = 45^\circ )
• Горизонтальное расстояние ( L = 65 \, \text{м} )
• Время полета ( t )

Шаг 1: Разложение начальной скорости

Начальная скорость ( V_0 ) можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие:

[ V_{0x} = V0 \cdot \cos(\alpha) ] [ V{0y} = V_0 \cdot \sin(\alpha) ]

Так как угол ( \alpha = 45^\circ ), то ( \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ). Таким образом:

[ V_{0x} = V0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ V{0y} = V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Шаг 2: Уравнения движения

1. Горизонтальное движение: Расстояние ( L ) можно выразить через горизонтальную скорость и время:

[ L = V{0x} \cdot t \implies t = \frac{L}{V{0x}} = \frac{L}{V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2L}{V_0 \sqrt{2}} ]

1. Вертикальное движение: Вертикальное движение подвержено действию силы тяжести. Высота ( y(t) ) может быть описана следующим уравнением:

[ y(t) = h + V_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 ] где ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )). Тело достигает земли, когда ( y(t) = 0 ):

[ 0 = h + V_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 ]

Подставим значения ( h ) и ( V_{0y} ):

[ 0 = 10 + V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 ]

Шаг 3: Подстановка времени

Теперь подставим выражение для ( t ) в уравнение для вертикального движения:

[ 0 = 10 + V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{2L}{V_0 \sqrt{2}}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{2L}{V_0 \sqrt{2}}\right)^2 ]

Упростим это уравнение:

[ 0 = 10 + L - \frac{g \cdot 2L^2}{2V_0^2 \cdot 2} = 10 + L - \frac{gL^2}{2V_0^2} ]

Шаг 4: Решение уравнения

Соберем все в одном уравнении:

[ \frac{gL^2}{2V_0^2} = 10 + L ]

Отсюда:

[ V_0^2 = \frac{gL^2}{2(10 + L)} ]

Подставим значения ( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 ) и ( L = 65 \, \text{м} ):

[ V_0^2 = \frac{9.81 \cdot 65^2}{2(10 + 65)} = \frac{9.81 \cdot 4225}{2 \cdot 75} ] [ V_0^2 \approx \frac{41427.75}{150} \approx 276.85 \implies V_0 \approx 16.64 \, \text{м/с} ]

Шаг 5: Нахождение времени

Теперь, зная ( V_0 ), можем найти ( t ):

[ t = \frac{2L}{V_0 \sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 65}{16.64 \cdot \sqrt{2}} \approx \frac{130}{23.5} \approx 5.55 \, \text{с} ]

Результат

Таким образом, время полета ( t ) составляет примерно ( 5.55 ) секунд.

График

График движения тела будет представлять собой параболу, где ось ( x ) — это горизонтальное расстояние, а ось ( y ) — высота. Начальная точка будет находиться на высоте ( h = 10 \, \text{м} ), и с течением времени тело будет следовать параболической траектории, достигая земли в точке ( L = 65 \, \text{м} ).

Обратите внимание, что для создания точного графика потребуется использование графического программного обеспечения или инструментов, таких как Python с Matplotlib, для визуализации движения.

Для решения задачи воспользуемся кинематическими уравнениями движения.

1. Разложение начальной скорости: Начальная скорость ( V0 ) можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие: [ V{0x} = V_0 \cos(\alpha) = V0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ V{0y} = V_0 \sin(\alpha) = V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Время полета в вертикальном направлении: Используем уравнение для вертикального движения: [ h + V_{0y} t - \frac{g t^2}{2} = 0 ] Подставим значения: [ 10 + V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} t - \frac{9.81 t^2}{2} = 0 ]

3. Горизонтальное движение: Для горизонтального движения: [ L = V_{0x} t ] Подставим значения: [ 65 = V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} t ]

4. Система уравнений: Мы имеем две уравнения:

   1. ( 10 + V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} t - \frac{9.81 t^2}{2} = 0 )
   2. ( 65 = V_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} t )

   Из второго уравнения выразим ( V_0 ): [ V_0 = \frac{65 \cdot 2}{\sqrt{2} t} = \frac{65 \sqrt{2}}{t} ]

5. Подставляем ( V_0 ) в первое уравнение: Подставим значение ( V_0 ) в первое уравнение: [ 10 + \left(\frac{65 \sqrt{2}}{t}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} t - \frac{9.81 t^2}{2} = 0 ] Это упростится до: [ 10 + 65 - \frac{9.81 t^2}{2} = 0 ] [ 75 = \frac{9.81 t^2}{2} ] [ 150 = 9.81 t^2 ] [ t^2 = \frac{150}{9.81} \approx 15.29 ] [ t \approx \sqrt{15.29} \approx 3.91 \text{ с} ]

Таким образом, время полета ( t \approx 3.91 ) секунд.

График

Для построения графика движения можно использовать параболу, показывающую путь тела:

• Ось X — горизонтальное расстояние от башни.
• Ось Y — высота.
• Начальная точка — ((0, 10)).
• Конечная точка — ((65, 0)).

График будет представлять собой параболу, вершина которой соответствует максимальной высоте, а затем она будет падать обратно к оси X.