тело брошено вертикально вверх со скоростью 14 м/с на какой высоте его кинетическая энергия вдвое больше потенциальной ? Нулевой уровень выбран на поверхности Земли
тело брошено вертикально вверх со скоростью 14 м/с на какой высоте его кинетическая энергия вдвое больше потенциальной ? Нулевой уровень выбран на поверхности Земли
Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и формулами для кинетической и потенциальной энергии. Давайте разберем задачу пошагово.
Нужно найти высоту ( h ), на которой кинетическая энергия ( E_k ) будет вдвое больше потенциальной энергии ( E_p ), то есть: [ E_k = 2E_p. ]
Полная механическая энергия тела (в отсутствие сил сопротивления) сохраняется и равна сумме кинетической и потенциальной энергий: [ E_\text{полная} = E_k + E_p. ]
Кинетическая энергия тела: [ E_k = \frac{mv^2}{2}, ] где ( v ) — скорость тела в данный момент времени, ( m ) — масса тела.
Потенциальная энергия тела: [ E_p = mgh, ] где ( h ) — высота над нулевым уровнем.
Полная механическая энергия тела определяется только начальной кинетической энергией (так как при ( h = 0 ) потенциальная энергия равна нулю): [ E\text{полная} = E{k0} = \frac{mv_0^2}{2}. ]
Условие задачи: ( E_k = 2E_p ), то есть: [ \frac{mv^2}{2} = 2mgh. ]
Полная механическая энергия: [ E_\text{полная} = \frac{mv_0^2}{2}. ]
Подставим ( v0 = 14 \ \text{м/с} ): [ E\text{полная} = \frac{m \cdot 14^2}{2} = \frac{m \cdot 196}{2} = 98m. ]
[ E_k = 2E_p. ]
Подставим выражения для энергий: [ \frac{mv^2}{2} = 2mgh. ]
Сократим массу ( m ) (она встречается в обеих частях уравнения) и умножим всё на 2: [ v^2 = 4gh. \tag{1} ]
Согласно закону сохранения энергии: [ E_\text{полная} = E_k + E_p, ] или: [ \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh. ]
Сократим ( m ) и умножим всё на 2: [ v_0^2 = v^2 + 2gh. \tag{2} ]
[ v_0^2 = 4gh + 2gh. ]
Сложим члены: [ v_0^2 = 6gh. ]
Выразим ( h ): [ h = \frac{v_0^2}{6g}. \tag{3} ]
[ v_0 = 14 \ \text{м/с}, \quad g = 9.8 \ \text{м/с}^2. ]
Подставим в формулу (3): [ h = \frac{14^2}{6 \cdot 9.8}. ]
Вычислим числитель: [ 14^2 = 196. ]
Вычислим знаменатель: [ 6 \cdot 9.8 = 58.8. ]
Теперь найдём ( h ): [ h = \frac{196}{58.8} \approx 3.33 \ \text{м}. ]
Высота, на которой кинетическая энергия тела вдвое больше потенциальной, составляет примерно 3.33 метра.
Для решения задачи необходимо использовать формулы для кинетической и потенциальной энергии.
Кинетическая энергия (КЭ) тела можно выразить через его массу ( m ) и скорость ( v ): [ K = \frac{1}{2} m v^2 ]
Потенциальная энергия (ПЭ) тела на высоте ( h ) определяется как: [ U = mgh ] где ( g ) — ускорение свободного падения, приблизительно равное ( 9.81 \, \text{м/с}^2 ).
Мы ищем высоту ( h ), на которой кинетическая энергия вдвое больше потенциальной: [ K = 2U ]
Подставим выражения для КЭ и ПЭ в это уравнение: [ \frac{1}{2} m v^2 = 2 mgh ]
Сократим массу ( m ) (предполагая, что она не равна нулю) с обеих сторон: [ \frac{1}{2} v^2 = 2gh ]
Теперь выразим скорость ( v ) через высоту ( h ). Заметим, что при движении тела вверх его скорость изменяется по мере подъема. На высоте ( h ) скорость ( v ) можно найти из уравнения движения. При броске тела вверх скорость изменяется в зависимости от высоты по формуле: [ v^2 = v_0^2 - 2gh ] где ( v_0 ) — начальная скорость (14 м/с).
Подставим это выражение в уравнение: [ \frac{1}{2} (v_0^2 - 2gh) = 2gh ] Раскроем скобки: [ \frac{1}{2} v_0^2 - gh = 2gh ] Соберем все члены с ( gh ) в одну часть уравнения: [ \frac{1}{2} v_0^2 = 3gh ] Теперь выразим высоту ( h ): [ h = \frac{1}{3g} v_0^2 ]
Подставим значение ( v_0 = 14 \, \text{м/с} ) и ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ): [ h = \frac{1}{3 \times 9.81} \times (14)^2 ]
Сначала найдем ( (14)^2 ): [ (14)^2 = 196 ] Теперь подставим это значение в формулу для высоты: [ h = \frac{196}{3 \times 9.81} \approx \frac{196}{29.43} \approx 6.66 \, \text{м} ]
Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия тела вдвое больше потенциальной, составляет примерно 6.66 метра.
