Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите,...

На высоте, равной половине максимальной высоты подъема.

Для решения задачи используем законы сохранения механической энергии. Идея состоит в том, что полная механическая энергия тела сохраняется, если пренебречь сопротивлением воздуха. Полная механическая энергия (E) является суммой кинетической энергии (K) и потенциальной энергии (U).

1. Начальные условия:

   • Начальная скорость тела (v_0 = 20 \, \text{м/с}).
   • Начальная высота (h_0 = 0).

2. Кинетическая энергия ((K)) и потенциальная энергия ((U)) определяются как: [ K = \frac{1}{2}mv^2 ] [ U = mgh ] где (m) — масса тела, (v) — скорость тела в данной точке, (g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2) — ускорение свободного падения, (h) — высота.

3. Задача: Найти высоту (h), при которой (K = U).

4. Полная механическая энергия в начальный момент времени: [ E = K_0 + U_0 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg \cdot 0 = \frac{1}{2}m(20)^2 = 200m \, \text{Дж} ]

5. Условие равенства кинетической и потенциальной энергии: [ \frac{1}{2}mv^2 = mgh ]

6. Упростим это выражение, сократив массу (m) и решим относительно скорости (v) и высоты (h): [ \frac{1}{2}v^2 = gh ]

7. Из закона сохранения энергии: [ \frac{1}{2}mv^2 + mgh = 200m ]

8. Подставим условие равенства кинетической и потенциальной энергии ( \frac{1}{2}v^2 = gh ) в полное уравнение: [ 2gh + gh = 200 ] [ 3gh = 200 ]

9. Решение уравнения для высоты (h): [ h = \frac{200}{3g} = \frac{200}{3 \times 9.81} ] [ h \approx \frac{200}{29.43} \approx 6.8 \, \text{м} ]

Итак, на высоте примерно 6.8 метров кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии.

Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Наивысшей точкой подъема тела будет момент, когда его скорость станет равна 0. На этой высоте кинетическая энергия будет равна 0, а потенциальная энергия будет максимальна.

Кинетическая энергия тела определяется формулой: K = (1/2)mv^2, где m - масса тела, v - скорость тела.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести определяется формулой: P = mgh, где h - высота подъема тела, g - ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с^2).

Из условия задачи кинетическая энергия тела равна его потенциальной на некоторой высоте h. Поэтому можно записать: (1/2)mv^2 = mgh.

Масса тела m сокращается, и получаем: (1/2)v^2 = gh.

Подставляем известные значения: v = 20 м/с, g = 9,8 м/с^2, и находим высоту h: (1/2)*(20)^2 = 9,8h, 200 = 9,8h, h ≈ 20,41 м.

Таким образом, на высоте около 20,41 м кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной.