Тело, имеющее начальную скорость 20 м/с и ускорение 0,5 м/с2 начинает двигаться из некоторой точки по...

Для решения задачи о движении двух тел, давайте сначала определим уравнения движения для каждого из них.

Уравнение движения первого тела:

Первое тело начинает движение с начальной скоростью ( v_1 = 20 \, \text{м/с} ) и движется с постоянным ускорением ( a_1 = 0.5 \, \text{м/с}^2 ). Время движения первого тела обозначим как ( t ).

Уравнение для расстояния, пройденного первым телом за время ( t ), можно записать следующим образом:

[ S_1 = v_1 t + \frac{1}{2} a_1 t^2 ]

Подставляя значения:

[ S_1 = 20t + \frac{1}{2} (0.5) t^2 = 20t + 0.25t^2 ]

Уравнение движения второго тела:

Второе тело начинает движение через 20 секунд после первого. Следовательно, если первое тело движется в течение времени ( t ), то второе тело будет двигаться в течение ( t - 20 ) секунд (при условии, что ( t \geq 20 )).

У второго тела начальная скорость ( v_2 = 5 \, \text{м/с} ) и ускорение ( a_2 = 2 \, \text{м/с}^2 ). Расстояние, пройденное вторым телом, можно записать как:

[ S_2 = v_2 (t - 20) + \frac{1}{2} a_2 (t - 20)^2 ]

Подставляя значения, получаем:

[ S_2 = 5(t - 20) + \frac{1}{2} (2) (t - 20)^2 ]

Упрощая уравнение:

[ S_2 = 5(t - 20) + (t - 20)^2 = 5t - 100 + t^2 - 40t + 400 ] [ S_2 = t^2 - 35t + 300 ]

Условие на равенство расстояний:

Второе тело догоняет первое, когда пройденные расстояния равны:

[ S_1 = S_2 ]

Подставим уравнения:

[ 20t + 0.25t^2 = t^2 - 35t + 300 ]

Переносим все в одну сторону:

[ 0 = t^2 - 35t + 300 - 20t - 0.25t^2 ] [ 0 = 0.75t^2 - 55t + 300 ]

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:

[ 0 = 3t^2 - 220t + 1200 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-220)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1200 ] [ D = 48400 - 14400 = 34000 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{220 \pm \sqrt{34000}}{2 \cdot 3} ] [ t = \frac{220 \pm 184.39}{6} ]

Находим два значения:

1. ( t_1 = \frac{220 + 184.39}{6} \approx 67.40 \, \text{s} )
2. ( t_2 = \frac{220 - 184.39}{6} \approx 5.93 \, \text{s} ) (это значение не подходит, так как ( t ) должно быть больше 20).

Ответ:

Таким образом, второе тело догонит первое через примерно 67.4 секунды после начала движения первого тела.

Для решения этой задачи нужно определить момент времени, когда расстояния, пройденные первым и вторым телами, станут равными. Это можно сделать, составив уравнения движения для обоих тел и приравняв их. Распишем решение пошагово.

Дано:

1. Первое тело:

   • Начальная скорость ( v_{1,0} = 20 \, \text{м/с} ),
   • Ускорение ( a_1 = 0.5 \, \text{м/с}^2 ),
   • Начинает движение в момент времени ( t = 0 ).

2. Второе тело:

   • Начальная скорость ( v_{2,0} = 5 \, \text{м/с} ),
   • Ускорение ( a_2 = 2 \, \text{м/с}^2 ),
   • Начинает движение спустя ( t_0 = 20 \, \text{с} ).

Нужно найти время ( t ), через которое второе тело догонит первое.

Решение:

1. Уравнения движения.

Для каждого тела запишем уравнение движения по формуле: [ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2, ] где:

• ( s ) — пройденное расстояние,
• ( v_0 ) — начальная скорость,
• ( a ) — ускорение,
• ( t ) — время движения.

Первое тело. Оно начинает движение сразу с момента ( t = 0 ), поэтому его путь ( s_1(t) ) задается уравнением: [ s_1(t) = 20t + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot t^2 = 20t + 0.25t^2. ]

Второе тело. Оно начинает двигаться спустя ( t_0 = 20 \, \text{с} ). Для него будем учитывать время движения ( t_2 = t - 20 ), где ( t ) — общее время с момента начала движения первого тела. Путь второго тела ( s_2(t) ) задается уравнением: [ s_2(t) = 5(t - 20) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (t - 20)^2 = 5(t - 20) + (t - 20)^2. ]

2. Условие встречи.

В момент встречи расстояния, пройденные обоими телами, равны: [ s_1(t) = s_2(t). ] Подставим уравнения для ( s_1(t) ) и ( s_2(t) ): [ 20t + 0.25t^2 = 5(t - 20) + (t - 20)^2. ]

3. Раскрытие скобок и упрощение.

Раскроем скобки в правой части уравнения: [ 20t + 0.25t^2 = 5t - 100 + (t^2 - 40t + 400). ] Сгруппируем и упростим: [ 20t + 0.25t^2 = 5t - 100 + t^2 - 40t + 400. ] [ 20t + 0.25t^2 = t^2 - 35t + 300. ]

Перенесем всё в одну часть уравнения: [ 0.25t^2 - t^2 + 20t + 35t - 300 = 0. ] [ -0.75t^2 + 55t - 300 = 0. ]

Умножим уравнение на (-4/3), чтобы избавиться от дроби: [ t^2 - \frac{220}{3}t + 400 = 0. ]

4. Решение квадратного уравнения.

Приведем уравнение к стандартному виду: [ 3t^2 - 220t + 1200 = 0. ]

Решим его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-220)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1200 = 48400 - 14400 = 34000. ]

Найдем корни: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{220 \pm \sqrt{34000}}{6}. ]

Вычислим (\sqrt{34000}): [ \sqrt{34000} \approx 184.39. ]

Теперь найдем корни: [ t_1 = \frac{220 + 184.39}{6} \approx \frac{404.39}{6} \approx 67.4 \, \text{с}, ] [ t_2 = \frac{220 - 184.39}{6} \approx \frac{35.61}{6} \approx 5.93 \, \text{с}. ]

Очевидно, что ( t_2 ) не подходит, так как второе тело начинает движение только спустя 20 секунд. Следовательно, ( t_1 = 67.4 \, \text{с} ) — это общее время движения первого тела.

5. Ответ.

Второе тело догонит первое через ( t = 67.4 - 20 = 47.4 \, \text{с} ) после начала его движения.