Для теплового двигателя, работающего по циклу Карно, коэффициент полезного действия (КПД) определяется следующей формулой:
[ \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ]
где ( \eta ) — КПД, ( T_h ) — абсолютная температура нагревателя, ( T_c ) — абсолютная температура холодильника. Температуры ( T_h ) и ( T_c ) должны быть указаны в абсолютной шкале температур (в Кельвинах).
Предположим, что температуры нагревателя и холодильника были ( T_h ) и ( T_c ) соответственно, и обе температуры повышены на одинаковое число градусов ( \Delta T ). Тогда новые температуры будут:
[ T_h' = T_h + \Delta T ]
[ T_c' = T_c + \Delta T ]
Теперь новый КПД можно выразить как:
[ \eta' = 1 - \frac{T_c'}{T_h'} = 1 - \frac{T_c + \Delta T}{T_h + \Delta T} ]
Рассмотрим, как изменится КПД при этом изменении температур.
- Если ( T_h ) и ( T_c ) остаются константами, тогда:
[ \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ]
- Новый КПД ( \eta' ) выражается через новые температуры:
[ \eta' = 1 - \frac{T_c + \Delta T}{T_h + \Delta T} ]
Для анализа изменения КПД рассмотрим разницу между новым и старым КПД:
[ \Delta \eta = \eta' - \eta = \left( 1 - \frac{T_c + \Delta T}{T_h + \Delta T} \right) - \left( 1 - \frac{T_c}{T_h} \right) ]
Упрощаем это выражение:
[ \Delta \eta = \frac{T_c}{T_h} - \frac{T_c + \Delta T}{T_h + \Delta T} ]
Поскольку ( T_c < T_h ), любое увеличение температуры на одно и то же значение ( \Delta T ) приводит к тому, что дробь ( \frac{T_c + \Delta T}{T_h + \Delta T} ) становится меньше, чем ( \frac{T_c}{T_h} ), что означает, что новый КПД ( \eta' ) больше старого КПД ( \eta ).
Следовательно, при одинаковом увеличении температуры нагревателя и холодильника КПД теплового двигателя увеличивается. Это происходит потому, что относительное снижение разницы температур между нагревателем и холодильником становится менее значительным, что улучшает эффективность преобразования тепловой энергии в работу.