Три одинаковых заряда по 20 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. На каждый заряд...

Рассмотрим три одинаковых заряда ( q = 20 ) нКл (нанокулонов), расположенные в вершинах равностороннего треугольника с длиной стороны ( a ). Нам известно, что на каждый заряд действует сила ( F = 10 ) мкН (микроньютонов).

Для начала, преобразуем все данные в единицы СИ:

1. Заряд: ( q = 20 ) нКл = ( 20 \times 10^{-9} ) Кл = ( 2 \times 10^{-8} ) Кл.
2. Сила: ( F = 10 ) мкН = ( 10 \times 10^{-6} ) Н = ( 1 \times 10^{-5} ) Н.

В равностороннем треугольнике каждый заряд взаимодействует с двумя другими зарядами. Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона:

[ F = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} ]

где:

• ( k_e ) — коэффициент пропорциональности (электростатическая постоянная), равный ( 8.99 \times 10^9 ) Н·м²/Кл²,
• ( q_1 ) и ( q_2 ) — величины зарядов,
• ( r ) — расстояние между зарядами.

Так как заряды одинаковы и расстояние между ними равно стороне треугольника ( a ), формула для силы между двумя зарядами становится:

[ F_{12} = k_e \frac{q^2}{a^2} ]

Поскольку на каждый заряд действует сила от двух соседних зарядов, результирующая сила будет векторной суммой двух сил, направленных под углом 120° друг к другу (угол между любыми двумя силами в равностороннем треугольнике). Величина результирующей силы ( F_{res} ) на каждый заряд будет равна:

[ F{res} = 2F{12} \cos(60^\circ) = 2F{12} \cdot \frac{1}{2} = F{12} ]

Таким образом,

[ F = k_e \frac{q^2}{a^2} ]

Теперь подставим известные значения:

[ 1 \times 10^{-5} = 8.99 \times 10^9 \frac{(2 \times 10^{-8})^2}{a^2} ]

Решим это уравнение относительно ( a ):

[ 1 \times 10^{-5} = 8.99 \times 10^9 \frac{4 \times 10^{-16}}{a^2} ]

[ 1 \times 10^{-5} = 3.596 \times 10^{-6} \frac{1}{a^2} ]

[ a^2 = \frac{3.596 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-5}} ]

[ a^2 = 3.596 \times 10^{-1} ]

[ a = \sqrt{3.596 \times 10^{-1}} ]

[ a \approx 0.6 \text{ м} ]

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника составляет примерно ( 0.6 ) метра (или 60 сантиметров).

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законом Кулона, который гласит, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна произведению их величин и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Из условия задачи мы знаем, что на каждый заряд действует сила 10 мкН. Таким образом, суммарная сила, действующая на один заряд от двух других зарядов, равна 20 мкН (10 мкН + 10 мкН). Так как треугольник равносторонний, то угол между силами равен 60 градусов.

Для нахождения стороны треугольника обратимся к составляющим силы, действующей на один из зарядов. Сила можно разложить на две составляющие: одна параллельна стороне треугольника, другая перпендикулярна. Так как треугольник равносторонний, то сила, параллельная стороне, будет равна F * cos(60), где F - сила взаимодействия между двумя зарядами.

Итак, F cos(60) = 20 мкН cos(60) = 10 мкН. По закону Кулона, F = k * q^2 / r^2, где k - постоянная Кулона, q - величина заряда, r - расстояние между зарядами.

Таким образом, 10 мкН = k (20 нКл)^2 / r^2. Отсюда r = sqrt(k (20 нКл)^2 / 10 мкН) = sqrt((8.99 10^9 N m^2 / C^2 (20 10^-9 C)^2) / 10 10^-6 N) = 0.2 м.

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 0.2 м.