В алюминиевом чайнике массой 500г нагревают 2 л воды, взятой при температуре 18°С. До какой температуры...

Для решения задачи будем учитывать законы сохранения энергии. Рассчитаем, сколько тепла выделяется при сжигании природного газа, и учтем, что лишь 50% этого тепла идет на нагрев воды и чайника. Затем найдем, до какой температуры можно нагреть систему.

Дано:

• Масса алюминиевого чайника: ( m_{\text{ч}} = 500 \, \text{г} = 0{,}5 \, \text{кг} ),
• Масса воды: ( m_{\text{в}} = 2 \, \text{л} = 2 \, \text{кг} ),
• Начальная температура воды и чайника: ( t_0 = 18^\circ \text{C} ),
• Масса природного газа: ( m_{\text{г}} = 30 \, \text{г} = 0{,}03 \, \text{кг} ),
• Теплота сгорания природного газа: ( q_{\text{г}} = 50 \, \text{МДж/кг} = 50 \cdot 10^6 \, \text{Дж/кг} ),
• КПД горелки: ( \eta = 50\% = 0{,}5 ),
• Удельная теплоемкость воды: ( c_{\text{в}} = 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)} ),
• Удельная теплоемкость алюминия: ( c_{\text{ч}} = 900 \, \text{Дж/(кг·°C)} ).

1. Теплота, выделяемая при сжигании природного газа

Теплота, выделяемая при сжигании газа, равна: [ Q{\text{г}} = m{\text{г}} \cdot q{\text{г}}. ] Подставим значения: [ Q{\text{г}} = 0{,}03 \cdot 50 \cdot 10^6 = 1{,}5 \cdot 10^6 \, \text{Дж}. ]

С учетом КПД горелки, на нагрев воды и чайника идет только 50% этой энергии: [ Q{\text{полезное}} = Q{\text{г}} \cdot \eta = 1{,}5 \cdot 10^6 \cdot 0{,}5 = 0{,}75 \cdot 10^6 = 750{,}000 \, \text{Дж}. ]

2. Теплота, необходимая для нагрева воды и чайника

Общая теплоемкость системы (вода + чайник) равна: [ C{\text{общая}} = m{\text{в}} \cdot c{\text{в}} + m{\text{ч}} \cdot c{\text{ч}}. ] Подставим значения: [ C{\text{общая}} = 2 \cdot 4200 + 0{,}5 \cdot 900 = 8400 + 450 = 8850 \, \text{Дж/°C}. ]

Нагревание воды и чайника до температуры ( t ) потребует тепла: [ Q{\text{полезное}} = C{\text{общая}} \cdot \Delta t, ] где ( \Delta t = t - t0 ) — изменение температуры. Выразим ( \Delta t ): [ \Delta t = \frac{Q{\text{полезное}}}{C_{\text{общая}}}. ]

Подставим значения: [ \Delta t = \frac{750{,}000}{8850} \approx 84{,}75 \, \text{°C}. ]

Новая температура воды и чайника: [ t = t_0 + \Delta t = 18 + 84{,}75 \approx 102{,}8 \, \text{°C}. ]

3. Учет кипения воды

Температура воды не может превысить ( 100^\circ \text{C} ) при нормальном давлении. Если расчетная температура превышает ( 100^\circ \text{C} ), часть выделившегося тепла пойдет на испарение воды. Рассчитаем, сколько тепла потребуется для нагрева воды до ( 100^\circ \text{C} ) и чайника до той же температуры.

Теплота, необходимая для нагрева воды и чайника до ( 100^\circ \text{C} ): [ Q{\text{до кипения}} = C{\text{общая}} \cdot (100 - t0). ] Подставим значения: [ Q{\text{до кипения}} = 8850 \cdot (100 - 18) = 8850 \cdot 82 = 726{,}900 \, \text{Дж}. ]

Оставшееся тепло после нагрева до ( 100^\circ \text{C} ): [ Q{\text{остаток}} = Q{\text{полезное}} - Q{\text{до кипения}}. ] Подставим: [ Q{\text{остаток}} = 750{,}000 - 726{,}900 = 23{,}100 \, \text{Дж}. ]

4. Испарение воды

На испарение воды затрачивается энергия по формуле: [ Q{\text{испарение}} = m{\text{испарение}} \cdot r, ] где ( r = 2{,}26 \cdot 10^6 \, \text{Дж/кг} ) — удельная теплота парообразования воды. Выразим массу испарившейся воды: [ m{\text{испарение}} = \frac{Q{\text{остаток}}}{r}. ] Подставим значения: [ m_{\text{испарение}} = \frac{23{,}100}{2{,}26 \cdot 10^6} \approx 0{,}0102 \, \text{кг} = 10{,}2 \, \text{г}. ]

Ответ:

1. Воду и чайник можно нагреть до ( 100^\circ \text{C} ).
2. После достижения этой температуры испарится ( 10{,}2 \, \text{г} ) воды.

Для решения задачи сначала нужно рассчитать количество теплоты, которое можно получить при сжигании 30 г природного газа. Затем, используя это количество теплоты, вычислим, до какой температуры можно нагреть воду в чайнике, учитывая массу чайника и воды, а также их теплоемкости.

1. Расчет теплоты, выделяющейся при сжигании газа: Природный газ в основном состоит из метана (CH₄), и его теплотворная способность составляет примерно 50 МДж/кг (или 50000 Дж/г).

   Рассчитаем количество теплоты, выделяющееся при сжигании 30 г газа: [ Q = m \cdot L ] где:

   • ( m = 30 \, \text{г} = 0.03 \, \text{кг} )
   • ( L = 50000 \, \text{Дж/кг} )

   Подставляем значения: [ Q = 0.03 \, \text{кг} \cdot 50000 \, \text{Дж/кг} = 1500 \, \text{Дж} ]

   Поскольку КПД горелки равен 50%, фактическое количество теплоты, которое будет передано воде и чайнику, составляет: [ Q_{\text{эфф}} = Q \cdot \eta = 1500 \, \text{Дж} \cdot 0.5 = 750 \, \text{Дж} ]

2. Расчет теплоты, необходимой для нагрева воды и чайника: Теперь посчитаем, сколько теплоты нужно для нагрева 2 литров воды и 500 г чайника.

   • Масса воды ( m_{\text{вода}} = 2 \, \text{л} = 2 \, \text{кг} )
   • Масса чайника ( m_{\text{чайник}} = 0.5 \, \text{кг} )
   • Начальная температура воды и чайника ( T_0 = 18°С )

   Удобно использовать теплоемкость воды и алюминия:

   • Теплоемкость воды ( c_{\text{вода}} \approx 4180 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{°С)} )
   • Теплоемкость алюминия ( c_{\text{алюминий}} \approx 900 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{°С)} )

   Теплота, необходимая для нагрева воды: [ Q{\text{вода}} = m{\text{вода}} \cdot c_{\text{вода}} \cdot (T - T0) ] Теплота, необходимая для нагрева чайника: [ Q{\text{чайник}} = m{\text{чайник}} \cdot c{\text{алюминий}} \cdot (T - T_0) ]

   Общее количество теплоты, необходимое для нагрева воды и чайника: [ Q{\text{общ}} = Q{\text{вода}} + Q{\text{чайник}} = m{\text{вода}} \cdot c_{\text{вода}} \cdot (T - T0) + m{\text{чайник}} \cdot c_{\text{алюминий}} \cdot (T - T0) ] [ Q{\text{общ}} = (m{\text{вода}} \cdot c{\text{вода}} + m{\text{чайник}} \cdot c{\text{алюминий}}) \cdot (T - T_0) ]

   Подставляем значения: [ Q{\text{общ}} = (2 \, \text{кг} \cdot 4180 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{°С)} + 0.5 \, \text{кг} \cdot 900 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{°С)}) \cdot (T - 18) ] [ Q{\text{общ}} = (8360 + 450) \cdot (T - 18) = 8810 \cdot (T - 18) ]

3. Приравниваем количество теплоты: Теперь мы можем приравнять количество теплоты, полученное от газа, к количеству теплоты, необходимому для нагрева воды и чайника: [ 750 = 8810 \cdot (T - 18) ]

   Решаем это уравнение для ( T ): [ T - 18 = \frac{750}{8810} ] [ T - 18 \approx 0.085 ] [ T \approx 18 + 0.085 \approx 18.085 \, °С ]

Таким образом, при сжигании 30 г природного газа за счёт полученной теплоты можно нагреть воду в чайнике до температуры примерно 18.1 °С. Это незначительное повышение температуры показывает, что 30 г газа недостаточно для значительного нагрева 2 л воды и чайника.

Чтобы рассчитать, до какой температуры можно нагреть воду в чайнике, нужно использовать формулу для расчета тепла, выделяемого при сжигании газа, и учитывать КПД горелки.

1. Энергия, выделяемая при сжигании природного газа: Энергия сжигания 1 г метана (основной компонент природного газа) составляет примерно 50 МДж/кг (или 50 кДж/г). Для 30 г: [ Q = 30 \, \text{г} \times 50 \, \text{кДж/г} = 1500 \, \text{кДж} ]

2. Учитываем КПД: Учитывая КПД 50%, фактическая энергия, переданная воде и чайнику: [ Q_{\text{получ}} = 1500 \, \text{кДж} \times 0.5 = 750 \, \text{кДж} ]

3. Нагрев воды: Масса воды = 2 л = 2 кг, начальная температура воды = 18 °С. Удельная теплоемкость воды ( c_{\text{вода}} \approx 4.18 \, \text{кДж/(кг·°С)} ).

   Для нагрева воды на ( \Delta T ): [ Q_{\text{получ}} = m \cdot c \cdot \Delta T ] [ 750 \, \text{кДж} = 2 \, \text{кг} \cdot 4.18 \, \text{кДж/(кг·°С)} \cdot \Delta T ] [ \Delta T = \frac{750 \, \text{кДж}}{2 \, \text{кг} \cdot 4.18 \, \text{кДж/(кг·°С)}} \approx 89.9 \, °С ]

4. Конечная температура: Конечная температура воды: [ T_{\text{конеч}} = 18 \, °С + 89.9 \, °С \approx 107.9 \, °С ]

Итак, воду в чайнике можно нагреть примерно до 107.9 °С. Однако, на практике вода не может превышать 100 °С при нормальном атмосферном давлении, поэтому конечная температура будет равна 100 °С.