В дне чайника имеется круглое отверстие диаметром d = 1 мм. До какой высоты h можно налить воду в чайник, чтобы она не выливалась через отверстие? Поверхностное натяжение воды σ = 73 мН/м, плотность воды ρ = 1 г/см3. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с2.
Для того чтобы вода не выливалась через отверстие чайника, необходимо, чтобы давление воды внутри чайника было достаточно большим, чтобы превзойти давление, создаваемое поверхностным натяжением воды на отверстие.
Давление внутри жидкости на глубине h можно выразить как P = ρgh, где ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, h - глубина.
Давление, создаваемое поверхностным натяжением на отверстие, можно выразить как ΔP = 2σ/r, где σ - поверхностное натяжение, r - радиус отверстия (половина диаметра).
При условии равенства этих давлений, получаем уравнение: ρgh = 2σ/r 1 г/см³ 10 м/с² h = 2 73 мН/м / (1 мм / 2) = 146 мН/м / 0,001 м = 0,146 Н/м h = 0,146 Н/м / (1 г/см³ 10 м/с²) = 0,0146 м = 14,6 мм
Таким образом, до высоты h = 14,6 мм можно налить воды в чайник, чтобы она не выливалась через отверстие.
Чтобы определить, до какой высоты ( h ) можно налить воду в чайник, чтобы она не выливалась через отверстие, нужно рассмотреть баланс сил, действующих на пленку воды в отверстии. В данном случае основными силами являются сила поверхностного натяжения и гидростатическое давление воды.
Гидростатическое давление на уровне отверстия: [ P = \rho g h ] где ( \rho = 1000 \, \text{кг/м}^3 ) — плотность воды, ( g = 10 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения, и ( h ) — высота столба воды.
Сила поверхностного натяжения действует по контуру отверстия и удерживает воду от вытекания. Сила поверхностного натяжения определяется как: [ F = 2 \pi r \sigma ] где ( r = \frac{d}{2} = \frac{1 \, \text{мм}}{2} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{м} ) — радиус отверстия, и ( \sigma = 73 \times 10^{-3} \, \text{Н/м} ) — коэффициент поверхностного натяжения.
Условие равновесия: сила поверхностного натяжения должна уравновешивать давление воды на уровне отверстия: [ \rho g h \cdot \pi r^2 = 2 \pi r \sigma ]
Упростим уравнение: [ \rho g h \cdot r = 2 \sigma ]
Выразим ( h ): [ h = \frac{2 \sigma}{\rho g r} ]
Подставим значения: [ h = \frac{2 \times 73 \times 10^{-3} \, \text{Н/м}}{1000 \, \text{кг/м}^3 \times 10 \, \text{м/с}^2 \times 0.5 \times 10^{-3} \, \text{м}} ]
[ h = \frac{146 \times 10^{-3}}{5} = \frac{146}{5000} = 0.0292 \, \text{м} = 2.92 \, \text{см} ]
Таким образом, максимальная высота столба воды ( h ), до которой можно налить воду в чайник, чтобы она не выливалась через отверстие диаметром 1 мм, составляет примерно 2.92 см.
