В калориметр, содержащий m0 = 100 г льда при температуре 0 °C, налили m1 = 100 г воды при температуре t1 = 10 °C. Найдите установившуюся температуру в калориметре. Удельные теплоемкости льда и воды считайте равными c0 = 2,1 кДж/(кг׺C) и c1 = 4,2 кДж/(кг·ºC), удельную теплоту плавления льда – равной λ = 335 кДж/кг.
Для решения этой задачи нужно учитывать теплообмен между льдом и водой, а также возможное плавление льда. Мы будем рассматривать два возможных сценария: либо вся вода охлаждается до 0 °C и часть льда тает, либо весь лед тает и температура смеси повышается.
Рассмотрим случай, когда вся вода охлаждается до 0 °C:
Вода отдает тепло, равное: [ Q_{\text{вода}} = m_1 \cdot c_1 \cdot (t_1 - 0) = 0{,}1 \, \text{кг} \cdot 4{,}2 \, \text{кДж/(кг·ºC)} \cdot 10 \, \text{ºC} = 4{,}2 \, \text{кДж}. ]
Лед может поглотить это количество тепла, частично расплавившись. Тепло, необходимое для плавления (x) кг льда, равно: [ Q_{\text{плавление}} = x \cdot \lambda = x \cdot 335 \, \text{кДж/кг}. ]
Приравниваем отданное водой тепло к теплу, необходимому для плавления льда: [ 4{,}2 = x \cdot 335. ]
Отсюда находим (x): [ x = \frac{4{,}2}{335} \approx 0{,}0125 \, \text{кг} = 12{,}5 \, \text{г}. ]
Это количество льда, которое может расплавиться. Остальной лед и вода будут при температуре 0 °C.
Проверим возможность полного плавления льда и повышения температуры:
Для полного плавления 100 г льда потребуется: [ Q_{\text{плавление полного льда}} = m_0 \cdot \lambda = 0{,}1 \, \text{кг} \cdot 335 \, \text{кДж/кг} = 33{,}5 \, \text{кДж}. ]
Это больше, чем 4,2 кДж, которые может отдать вода, если она охладится до 0 °C. Поэтому полностью лед не растает.
Таким образом, установившаяся температура в калориметре будет 0 °C, при этом расплавится 12,5 г льда. Оставшаяся система будет состоять из 87,5 г льда и 112,5 г воды при температуре 0 °C.
Для нахождения установившейся температуры в калориметре нам необходимо использовать законы сохранения энергии.
Сначала рассмотрим процесс плавления льда. Для этого нам необходимо вычислить количество теплоты, необходимое для плавления всего льда. Это будет равно:
Q1 = m0 λ = 100 г (335 кДж/кг) = 33,5 кДж
Затем рассчитаем количество теплоты, необходимое для нагревания воды и льда от начальной температуры до установившейся. Пусть установившаяся температура будет T. Тогда количество теплоты, необходимое для нагревания воды и льда до установившейся температуры, будет равно:
Q2 = m0 c0 (T - 0) + m1 c1 (T - t1)
Также учтем, что вся полученная после плавления льда вода имеет температуру T, поэтому:
m0 c0 (T - 0) + m1 c1 (T - t1) = Q1
Подставим известные значения и найдем установившуюся температуру T:
100 г 2,1 кДж/(кг׺C) T + 100 г 4,2 кДж/(кг·ºC) (T - 10) = 33,5 кДж
210 T + 420 (T - 10) = 33,5
210 T + 420 T - 4200 = 33,5
630 T = 4233,5
T ≈ 6,72 °C
Таким образом, установившаяся температура в калориметре будет около 6,72 °C.
