В однородном магнитном поле с индукцикцией 20 мТл расположены виртикально на расстоянии 80см друг от...

Давайте разберем задачу подробно:

Дано:

• Индукция магнитного поля ( B = 20 \, \text{мТл} = 0,02 \, \text{Тл} ),
• Расстояние между прутьями ( l = 80 \, \text{см} = 0,8 \, \text{м} ),
• Скорость перемычки ( v = 1,5 \, \text{м/с} ),
• Масса перемычки ( m = 1,2 \, \text{г} = 0,0012 \, \text{кг} ).

Требуется найти сопротивление перемычки ( R ), чтобы система находилась в равновесии, а перемычка двигалась с постоянной скоростью ( v ).

Анализ:

1. Перемычка движется в однородном магнитном поле с постоянной скоростью ( v ). При этом, за счет движения в магнитном поле в перемычке возникает ЭДС индукции, которая порождает электрический ток. Этот ток взаимодействует с магнитным полем, создавая магнитную силу, которая противоположна направлению действия силы тяжести. Движение с постоянной скоростью указывает на то, что сила тяжести уравновешивается магнитной силой.

2. Рассмотрим силы, действующие на перемычку:

   • Сила тяжести: ( F_{\text{тяж}} = m g ),
   • Магнитная сила: ( F_{\text{магн}} = I l B ), где ( I ) — сила тока, ( l ) — длина перемычки, ( B ) — магнитная индукция.

   Условие равновесия: [ F{\text{тяж}} = F{\text{магн}} ]

3. Для нахождения силы тока ( I ) используем закон Ома ( I = \frac{\mathcal{E}}{R} ), где ( \mathcal{E} ) — ЭДС индукции, возникающая в перемычке. ЭДС индукции можно найти по формуле: [ \mathcal{E} = B l v, ] где ( l ) — расстояние между проводами, ( v ) — скорость перемычки.

Решение:

1. Найдем силу тяжести: [ F_{\text{тяж}} = m g = 0,0012 \cdot 9,8 = 0,01176 \, \text{Н}. ]

2. Выразим магнитную силу с учетом условий равновесия: [ F{\text{магн}} = I l B. ] Подставим ( I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B l v}{R} ): [ F{\text{магн}} = \frac{B l v}{R} \cdot l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}. ]

3. Приравняем силы: [ F{\text{тяж}} = F{\text{магн}} \implies m g = \frac{B^2 l^2 v}{R}. ]

4. Выразим сопротивление ( R ): [ R = \frac{B^2 l^2 v}{m g}. ]

5. Подставим числовые значения:

   • ( B = 0,02 \, \text{Тл} ),
   • ( l = 0,8 \, \text{м} ),
   • ( v = 1,5 \, \text{м/с} ),
   • ( m = 0,0012 \, \text{кг} ),
   • ( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 ).

   Тогда: [ R = \frac{(0,02)^2 (0,8)^2 (1,5)}{0,0012 \cdot 9,8}. ]

6. Посчитаем числитель и знаменатель:

   • Числитель: ( (0,02)^2 = 0,0004 ), ( (0,8)^2 = 0,64 ), ( 0,0004 \cdot 0,64 = 0,000256 ), ( 0,000256 \cdot 1,5 = 0,000384 ),
   • Знаменатель: ( 0,0012 \cdot 9,8 = 0,01176 ).

   Тогда: [ R = \frac{0,000384}{0,01176} \approx 0,0327 \, \text{Ом}. ]

Ответ:

Сопротивление перемычки ( R \approx 0,033 \, \text{Ом} ).

Для решения данной задачи нам нужно использовать закон электромагнитной индукции Фарадея и формулы для расчета силы, действующей на проводник в магнитном поле.

Дано:

• Индукция магнитного поля ( B = 20 \, \text{мТл} = 20 \times 10^{-3} \, \text{Т} )
• Расстояние между прутьями ( d = 80 \, \text{см} = 0.8 \, \text{м} )
• Скорость перемычки ( v = 1.5 \, \text{м/с} )
• Масса перемычки ( m = 1.2 \, \text{г} = 1.2 \times 10^{-3} \, \text{кг} )

1. Находим ЭДС индукции

По закону Фарадея, ЭДС индукции ( \mathcal{E} ) в контуре, перемещающемся в магнитном поле, равна:

[ \mathcal{E} = B \cdot l \cdot v ]

где ( l ) — длина проводника, находящегося в магнитном поле. В данном случае длина проводника равна расстоянию между прутьями:

[ l = d = 0.8 \, \text{м} ]

Теперь подставим данные в формулу для ЭДС:

[ \mathcal{E} = B \cdot d \cdot v = (20 \times 10^{-3} \, \text{Т}) \cdot (0.8 \, \text{м}) \cdot (1.5 \, \text{м/с}) = 0.024 \, \text{В} = 24 \, \text{мВ} ]

2. Находим силу, действующую на перемычку

Сила, действующая на проводник в магнитном поле, определяется формулой:

[ F = I \cdot l \cdot B ]

где ( I ) — ток в контуре. Мы знаем, что ток можно выразить через ЭДС и сопротивление:

[ I = \frac{\mathcal{E}}{R} ]

где ( R ) — сопротивление перемычки. Подставляя это выражение в формулу для силы, получаем:

[ F = \left(\frac{\mathcal{E}}{R}\right) \cdot l \cdot B ]

3. Уравнение движения

Сила, действующая на перемычку, также равна весу перемычки, который можно выразить как:

[ F_{weight} = m \cdot g ]

где ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения. Таким образом, мы можем записать уравнение:

[ m \cdot g = \left(\frac{\mathcal{E}}{R}\right) \cdot l \cdot B ]

4. Подставляем известные значения

Теперь подставим все известные значения в уравнение:

[ 1.2 \times 10^{-3} \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = \left(\frac{0.024 \, \text{В}}{R}\right) \cdot (0.8 \, \text{м}) \cdot (20 \times 10^{-3} \, \text{Т}) ]

Решим это уравнение для ( R ):

[ 0.011772 \, \text{Н} = \left(\frac{0.024}{R}\right) \cdot 0.016 ]

Упрощаем:

[ 0.011772 \, \text{Н} = \frac{0.000384}{R} ]

Теперь выразим ( R ):

[ R = \frac{0.000384}{0.011772} \approx 0.0326 \, \text{Ом} ]

Ответ

Сопротивление перемычки составляет примерно ( R \approx 0.0326 \, \text{Ом} ).