За одно и тоже время один пружинный маятник делает 10 колебаний ,а второй - на пружине с той же жесткостью - 20 колебаний . Определите массы этих маятников , если сумма их масс равна 3 кг . Ответ : 2,4 кг и 0,6 кг . Нужно подробное решение ( ну или не очень,но понятное) .
Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулой для периода колебаний пружинного маятника. Период ( T ) колебаний пружинного маятника определяется формулой:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}, ]
где ( m ) — масса груза, а ( k ) — жесткость пружины.
Поскольку известно количество колебаний, которые совершает каждый маятник за одно и то же время, мы можем выразить частоту колебаний ( f ) через количество колебаний ( N ) и время ( t ):
[ f = \frac{N}{t}. ]
Частота и период связаны соотношением:
[ f = \frac{1}{T}. ]
Из этого следует, что:
[ T = \frac{t}{N}. ]
Теперь подставим эту формулу для периода в формулу для периода пружинного маятника:
[ \frac{t}{N} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}. ]
Так как ( k ) одинаково для обоих маятников, выразим массу ( m ):
[ \sqrt{m} = \frac{t}{2\pi N} \cdot \sqrt{k}, ]
[ m = \left(\frac{t}{2\pi N} \cdot \sqrt{k}\right)^2. ]
Теперь рассмотрим оба маятника:
Подставим эти значения:
[ m_1 = \left(\frac{t}{2\pi \cdot 10} \cdot \sqrt{k}\right)^2, ]
[ m_2 = \left(\frac{t}{2\pi \cdot 20} \cdot \sqrt{k}\right)^2. ]
Известно, что сумма масс маятников равна 3 кг:
[ m_1 + m_2 = 3. ]
Теперь выразим массы:
[ m_1 = \left(\frac{t}{20\pi} \cdot \sqrt{k}\right)^2, ]
[ m_2 = \left(\frac{t}{40\pi} \cdot \sqrt{k}\right)^2. ]
Для упрощения обозначим:
[ A = \left(\frac{t}{2\pi} \cdot \sqrt{k}\right)^2. ]
Тогда:
[ m_1 = \frac{A}{100}, ]
[ m_2 = \frac{A}{400}. ]
Подставим в уравнение суммы масс:
[ \frac{A}{100} + \frac{A}{400} = 3. ]
Объединим дроби:
[ \frac{4A}{400} + \frac{A}{400} = \frac{5A}{400} = 3. ]
Отсюда:
[ 5A = 1200, ]
[ A = 240. ]
Теперь найдем массы:
[ m_1 = \frac{240}{100} = 2.4 \, \text{кг}, ]
[ m_2 = \frac{240}{400} = 0.6 \, \text{кг}. ]
Таким образом, массы маятников составляют 2,4 кг и 0,6 кг соответственно.
Давайте обозначим массы маятников как m1 и m2, соответственно. По условию задачи, сумма их масс равна 3 кг: m1 + m2 = 3.
Теперь воспользуемся формулой для периода колебаний пружинного маятника: T = 2π√(m/k), где T - период колебаний, m - масса маятника, k - жесткость пружины.
Для первого маятника, который делает 10 колебаний за одно и то же время, период колебаний равен T1 = T/10. Для второго маятника, который делает 20 колебаний, период колебаний равен T2 = T/20.
Так как жесткость пружины одинакова для обоих маятников, то можно записать следующее соотношение: T1 = 2π√(m1/k) = 2π√(m2/k) = T2.
Теперь подставим значения периодов колебаний и найдем соотношение масс маятников: 2π√(m1/k) = T/10, 2π√(m2/k) = T/20.
Так как T1 = T/10 и T2 = T/20, то 2π√(m1/k) = T1, 2π√(m2/k) = T2.
Подставляем значения T1 и T2: 2π√(m1/k) = 2π√(m2/k).
Упрощаем уравнение и получаем: √(m1) = √(m2).
Теперь используем уравнение m1 + m2 = 3 и найдем массы маятников: m1 = 2,4 кг, m2 = 0,6 кг.
Таким образом, массы маятников равны 2,4 кг и 0,6 кг, что удовлетворяет условию задачи.
